Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên 1993-1994 Đại học tổng hợp
Sở Giáo dục và Đào tạo …..
Kì thi tuyển sinh vào 10
Năm học 2022 – 2023
Đề thi môn: Toán
Thời gian làm bài: 120 phút
(không kể thời gian phát đề)
Bài 1: a) GiảI phương trình \[x + \sqrt {x + \frac{1}{2} + \sqrt {x + \frac{1}{4}} } = 2\].
b) GiảI hệ phương trình : \[\left\{ \begin{array}{l}{x^3} + 2x{y^2} + 12y = 0\\8{y^3} + {x^2} = 12\end{array} \right.\]
Bài 2: Tìm max và min của biểu thức : A = x2y(4 – x – y) khi x và y thay đổi thỏa mãn điều kiện : x ³ 0, y ³ 0, x + y ≤ 6.
Bài 3: Cho hình thoi ABCD. Gọi R, r lần lượt là các bán kính các đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABD, ABC và a là độ dài cạnh hình thoi. Chứng minh rằng \[\frac{1}{{{R^2}}} + \frac{1}{{{r^2}}} = \frac{4}{{{a^2}}}\].
Bài 4: Tìm tất cả các số nguyên dương a, b, c đôI một khác nhau sao cho biểu thức \[A = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{{ab}} + \frac{1}{{ac}} + \frac{1}{{bc}}\] nhận giá trị nguyên dương.
Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên 1991-1992 Đại học tổng hợp
Bài 5: a) Rút gọn biểu thức \[A = \sqrt[3]{{2\sqrt 3 – 4\sqrt 2 }}.\sqrt[6]{{44 + 16\sqrt 6 }}\].
b) Phân tích biêu thức P = (x – y)5 + (y-z)5 +(z – x )5 thành nhân tử.
Bài 6: a) Cho các số a, b, c, x, y, z thảo mãn các điều kiện \[\left\{ \begin{array}{l}a + b + c = 0\\x + y + z = 0\\\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 0\end{array} \right.\] hãy tính giá trị của biểu thức A = xa2 + yb2 + zc2.
b) Cho 4 số a, b, c, d mỗi số đều không âm và nhỏ hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng
0 ≤ a + b + c + d – ab – bc – cd – da ≤ 2. Khi nào đẳng thức xảy ra dấu bằng.
Bài 7: Cho trước a, d là các số nguyên dương. Xét các số có dạng :
a, a + d, a + 2d, … , a + nd, …
Chứng minh rằng trong các số đó có ít nhất một số mà 4 chữ số đầu tiên của nó là 1991.
Bài 8: Trong một cuộc hội thảo khoa học có 100 người tham gia. Giả sử mỗi người đều quen biết với ít nhất 67 người. Chứng minh rằng có thể tìm được một nhóm 4 người mà bất kì 2 người trong nhóm đó đều quen biết nhau.
Bài 9: Cho hình vuông ABCD. Lấy điểm M nằm trong hình vuông sao cho Ð MAB = Ð MBA = 150 . Chứng minh rằng D MCD đều.
Bài 10: Hãy xây dựng một tập hợp gồm 8 điểm có tính chất : Đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm bất kì luôn đI qua ít nhất hai điểm của tập hợp đó.
Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên toán 1992 Đại học tổng hợp
Sở Giáo dục và Đào tạo …..
Kì thi tuyển sinh vào 10
Năm học 2022 – 2023
Đề thi môn: Toán
Thời gian làm bài: 120 phút
(không kể thời gian phát đề)
Bài 1: a) Giải phương trình (1 + x)4 = 2(1 + x4).
b) Giải hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + xy + {y^2} = 7\\{y^2} + yz + {z^2} = 28\\{z^2} + xz + {x^2} = 7\end{array} \right.\]
Bài 2: a) Phân tích đa thức x5 – 5x – 4 thành tích của một đa thức bậc hai và một đa thức bậc ba với hệ số nguyên.
b) Áp dụng kết quả trên để rút gọn biểu thức \[P = \frac{2}{{\sqrt {4 – 3\sqrt[4]{5} + 2\sqrt 5 – \sqrt[4]{{125}}} }}\].
Bài 3: Cho D ABC đều. Chứng minh rằng với mọi điểm M ta luôn có MA ≤ MB + MC.
Bài 4: Cho Ð xOy cố định. Hai điểm A, B khác O lần lượt chạy trên Ox và Oy tương ứng sao cho OA.OB = 3.OA – 2.OB. Chứng minh rằng đường thẳng AB luôn đI qua một điểm cố định.
Bài 5 : Cho hai số nguyên dương m, n thỏa mãn m > n và m không chia hết cho n. Biết rằng số dư khi chia m cho n bằng số dư khi chia m + n cho m – n. Hãy tính tỷ số \[\frac{m}{n}\].
Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên 1991-1992 Đại học tổng hợp
Sở Giáo dục và Đào tạo …..
Kì thi tuyển sinh vào 10
Năm học 2022 – 2023
Đề thi môn: Toán
Thời gian làm bài: 120 phút
(không kể thời gian phát đề)
Bài 1: a) Rút gọn biểu thức \[A = \sqrt[3]{{2\sqrt 3 – 4\sqrt 2 }}.\sqrt[6]{{44 + 16\sqrt 6 }}\].
b) Phân tích biêu thức P = (x – y)5 + (y-z)5 +(z – x )5 thành nhân tử.
Bài 2: a) Cho các số a, b, c, x, y, z thảo mãn các điều kiện \[\left\{ \begin{array}{l}a + b + c = 0\\x + y + z = 0\\\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 0\end{array} \right.\] hãy tính giá trị của biểu thức A = xa2 + yb2 + zc2.
b) Cho 4 số a, b, c, d mỗi số đều không âm và nhỏ hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng
0 ≤ a + b + c + d – ab – bc – cd – da ≤ 2. Khi nào đẳng thức xảy ra dấu bằng.
Bài 3: Cho trước a, d là các số nguyên dương. Xét các số có dạng :
a, a + d, a + 2d, … , a + nd, …
Chứng minh rằng trong các số đó có ít nhất một số mà 4 chữ số đầu tiên của nó là 1991.
Bài 4: Trong một cuộc hội thảo khoa học có 100 người tham gia. Giả sử mỗi người đều quen biết với ít nhất 67 người. Chứng minh rằng có thể tìm được một nhóm 4 người mà bất kì 2 người trong nhóm đó đều quen biết nhau.
Bài 5: Cho hình vuông ABCD. Lấy điểm M nằm trong hình vuông sao cho Ð MAB = Ð MBA = 150 . Chứng minh rằng D MCD đều.
Bài 6: Hãy xây dựng một tập hợp gồm 8 điểm có tính chất : Đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm bất kì luôn đI qua ít nhất hai điểm của tập hợp đó.