Mời quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây:
80 BÀI HÌNH HỌC HAY
LUYỆN THI VÀO LỚP 10 THPT
Bài 1. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau
tại H và cắt đường tròn (O) lần lượt tại M,N,P.
Chứng minh rằng:
1. Tứ giác CEHD, nội tiếp .
2. Bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn.
3. AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC.
4. H và M đối xứng nhau qua BC.
5. Xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF.
Lời giải:
1. Xét tứ giác CEHD ta có:
∠ CEH = 900 (Vì BE là đường cao)
∠ CDH = 900 (Vì AD là đường cao)
=> ∠ CEH + ∠ CDH = 180
Mà ∠ CEH và ∠ CDH là hai góc đối của tứ giác CEHD. Do đó CEHD là tứ giác nội tiếp
2. Theo giả thiết: BE là đường cao => BE ⊥ AC => ∠BEC = 90.
CF là đường cao => CF ⊥ AB => ∠BFC = 90.
Như vậy E và F cùng nhìn BC dưới một góc 90 => E và F cùng nằm trên đường tròn đường kính BC.
Vậy bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn.
3. Xét hai tam giác AEH và ADC ta có: ∠ AEH = ∠ ADC = 90 ; ∠A là góc chung
=> ∆ AEH ∼ ∆ADC =>AE.AC=AH.AD
* Xét hai tam giác BEC và ADC ta có: ∠ BEC = ∠ ADC = 90; ∠C là góc chung
=> ∆ BEC ∼ ∆ADC => => AD.BC = BE.AC
4. Ta có ∠C1 = ∠A1 (vì cùng phụ với góc ABC)
∠C2 = ∠A1 (vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BM)
=> ∠C1 = ∠ C2 => CB là tia phân giác của góc HCM; lại có CB ⊥ HM => ∆ CHM cân tại C
=> CB cũng là đương trung trực của HM vậy H và M đối xứng nhau qua BC.
5. Theo chứng minh trên bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn
=> ∠C1 = ∠E1 (vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BF)
Cũng theo chứng minh trên CEHD là tứ giác nội tiếp
∠C1 = ∠E2 (vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung HD)
∠E1 = ∠E2 => EB là tia phân giác của góc FED.
Chứng minh tương tự ta cũng có FC là tia phân giác của góc DFE mà BE và CF cắt nhau tại H do đó H là
tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF.
Xem thêm