Giải SGK Toán 9 Bài 3 (Cánh diều): Hình cầu

Giải bài tập Toán 9 Bài 3: Hình cầu

Khởi động trang 104 Toán 9 Tập 2: Ở tiểu học, các em đã nhận biết được một số vật thể có dạng hình cầu, như ở Hình 28.

Hình cầu có những đặc điểm gì?

Lời giải:

Sau bài học này, chúng ta sẽ trả lời được câu hỏi trên như sau:

Hình cầu ở hình vẽ trên có:

⦁ Nửa đường tròn đường kính AB quét nên mặt cầu; như vậy, mặt cầu là hình được tạo ra khi quay một nửa đường tròn một vòng xung quanh đường thẳng cố định chứa đường kính của nó;

⦁ Điểm O là tâm của hình cầu (hay tâm của mặt cầu);

⦁ Đoạn thẳng AB là đường kính của hình cầu (hay đường kính của mặt cầu);

⦁ R là bán kính của hình cầu (hay bán kính của mặt cầu).

I. Hình cầu

Hoạt động 1 trang 104 Toán 9 Tập 2: Cắt một miếng bìa có dạng nửa hình tròn (đường kính AB = 2R, tâm O). Khi quay miếng bìa một vòng quanh đường thẳng cố định chứa đường kính AB (Hình 29a), miếng bìa đó tạo nên một hình như ở Hình 29b. Hình đó có dạng hình gì?

Lời giải:

Hình được tạo ra khi quay một nửa hình tròn (đường kính AB = 2R, tâm O) một vòng quanh đường thẳng cố định chứa đường kính AB là một hình cầu.

Hoạt động 2 trang 105 Toán 9 Tập 2: Cắt một số miếng bìa có dạng hình tròn có cùng đường kính. Mỗi miếng bìa tròn đó được cắt làm hai nửa hình tròn. Ghép các miếng bìa có dạng nửa hình tròn đó để được một hình cầu như ở Hình 31.

Lời giải:

HS thực hiện theo hướng dẫn của GV và SGK để cắt ghép được hình cầu.

Luyện tập 1 trang 105 Toán 9 Tập 2: Tạo lập một hình cầu có bán kính là 3 cm.

Lời giải:

Để tạo lập được một hình cầu có bán kính là 3 cm, ta làm như sau:

Bước 1. Cắt một số miếng bìa có dạng hình tròn có cùng bán kính 3 cm (Hình a).

Bước 2. Mỗi miếng bìa tròn đó được cắt làm hai nửa hình tròn (Hình b).

Bước 3. Ghép các miếng bìa có dạng nửa hình tròn đó để được một hình cầu bán kính 3 cm (Hình c).

Hoạt động 3 trang 105 Toán 9 Tập 2: a) Chuẩn bị một quả cam có dạng hình cầu. Dùng dao để cắt nó thành hai phần. Phần mặt cắt của quả cam như ở Hình 32 có dạng hình gì?

b) Quan sát Hình 33 và cho biết một mặt phẳng cắt một hình cầu sẽ tạo ra hình gì?

Lời giải:

a) Phần mặt cắt của quả cam như ở Hình 32 có dạng hình tròn.

b) Quan sát Hình 33, ta thấy một mặt phẳng cắt một hình cầu sẽ tạo ra hình tròn.

II. Diện tích mặt cầu

Hoạt động 4 trang 106 Toán 9 Tập 2: Thực hiện các hoạt động sau:

a) Chuẩn bị một mặt cầu bằng nhựa (chẳng hạn quả bóng bằng nhựa mỏng) có bán kính là R và một hình trụ bằng bìa cứng (hoặc nhựa mỏng) có bán kính đáy là R và chiều cao là 2R (như Hình 35a); một cuộn dây mảnh, không dãn (chẳng hạn dây len) đủ dài.

b) Dùng cuộn dây đó cuốn dần dần để phủ kín một nửa mặt cầu rồi cắt dây ở điểm cuối cùng (Hình 35b). Như vậy, đoạn dây thứ nhất “đã lát kín” một nửa mặt cầu. Tiếp tục dùng cuộn dây đó cuốn dần dần để phủ kín mặt xung quanh của hình trụ và cắt dây ở điểm cuối cùng (Hình 35c). Ta được đoạn dây thứ hai “lát kín” mặt xung quanh của hình trụ đã cho.

Gỡ từng đoạn dây quấn quanh nửa mặt cầu và mặt xung quanh của hình trụ nói trên, ta thấy hai đoạn dây đó có độ dài bằng nhau.

Do hai đoạn dây lần lượt lát kín một nửa mặt cầu, mặt xung quanh của hình trụ và độ dài hai đoạn dây đó bằng nhau nên ta có thể coi hai mặt đó có diện tích bằng nhau.

c) Tính diện tích xung quanh của hình trụ có bán kính đáy là R và chiều cao là 2R. Từ đó, hãy nêu dự đoán về công thức tính diện tích của mặt cầu bán kính R.

Lời giải:

a) Chuẩn bị một quả bóng bàn, tạo lập một hình trụ có cùng bán kính và chiều cao với quả bóng bàn, một cuộn dây len mảnh, không dãn.

b) HS thực hiện theo hướng dẫn của GV và SGK.

c) Diện tích xung quanh của hình trụ có bán kính đáy là R và chiều cao là 2R là:

S_xq = 2π.R.2R = 4πR².

Vì diện tích của mặt cầu bằng diện tích xung quanh của hình trụ nên ta dự đoán công thức tính diện tích mặt cầu bán kính R là: S = 4πR².

Luyện tập 2 trang 107 Toán 9 Tập 2: Một quả bóng đá theo tiêu chuẩn chuyên nghiệp (cho cả nam và nữ, từ khoảng 11, 12 tuổi trở lên), thường nặng khoảng 450 g, có chu vi đường tròn lớn khoảng 70 cm. Diện tích bề mặt của quả bóng đá như thế bằng bao nhiêu centimét vuông (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Lời giải:

Gọi R là bán kính đường tròn lớn.

Ta có công thức tính chu vi đường tròn lớn là: C = 2πR.

Suy ra $R=\frac{C}{2\pi }=\frac{70}{2\pi }=\frac{35}{\pi }\text{ (cm).}$

Diện tích bề mặt của quả bóng đá là:

$S=4\pi \cdot R^2=4\pi \cdot {\left(\frac{35}{\pi }\right)}^2=\frac{4900}{\pi }\approx 1559,72{\text{ (cm}}^2\text{).}$

III. Thể tích của hình cầu

Hoạt động 5 trang 107 Toán 9 Tập 2: Cho một hình cầu bán kính R và một cốc thuỷ tinh có dạng hình trụ với bán kính đáy là R, chiều cao là 2R.

Đặt hình cầu nằm khít trong cốc hình trụ rồi đổ đầy nước vào cốc đó (Hình 36a). Nhấc nhẹ hình cầu ra khỏi cốc. Đo độ cao cột nước còn lại, ta thấy độ cao này chỉ bằng $\frac{1}{3}$ chiều cao của cốc (Hình 36b).

Hãy cho biết thể tích của hình cầu bằng bao nhiêu phần thể tích của cốc hình trụ.

Lời giải:

Cách 1. Thể tích của chiếc cốc hình trụ là: V₁ = π.R².2R = 2πR³.

Thể tích của phần nước còn lại trong cốc sau khi nhấc hình cầu ra là:

$V_2=\pi \cdot R\cdot \frac{1}{3}\cdot 2R=\frac{2\pi R^3}{3}.$

Thể tích của hình cầu là:

$V=V_1-V_2=2\pi R^3-\frac{2\pi R^3}{3}=\frac{4\pi R^3}{3}.$

Khi đó, thể tích của hình cầu so với thể tích của cốc hình trụ bằng $\frac{V}{V_1}=\frac{\frac{4\pi R^3}{3}}{2\pi R^3}=\frac{2}{3}.$

Cách 2. Vì khi nhấc hình cầu ra khỏi cốc nước thì độ cao cột nước còn lại chỉ bằng $\frac{1}{3}$ chiều cao của cốc, do đó thể tích mà hình cầu chiếm $\frac{2}{3}$ thể tích của cốc hình trụ.

Bài tập

Bài 1 trang 108 Toán 9 Tập 2: Trong những vật thể ở các hình 37a, 37b, 37c, 37d, 37e, vật thể ở hình nào có dạng hình cầu?

Lời giải:

Trong những vật thể ở các hình trên, vật thể ở Hình 37d có dạng hình cầu.

Bài 2 trang 108 Toán 9 Tập 2: Cho một mặt phẳng đi qua tâm O của một hình cầu (Hình 38).

Quan sát Hình 38, hãy chỉ ra:

a) Hai đường kính của hình cầu;

b) Bốn bán kính của hình cầu;

c) Một hình tròn lớn của hình cầu.

Lời giải:

a) Hai đường kính của hình cầu là AB và CD.        

b) Bốn bán kính của hình cầu là OA, OB, OC, OD.

c) Một hình tròn lớn của hình cầu là (O; OA).        

Bài 3 trang 108 Toán 9 Tập 2: Để dự báo thời tiết, người ta sử dụng các bóng thám không, đó là một loại bóng bay mang theo các dụng cụ đo thời tiết như đo áp suất khí quyển, nhiệt độ, độ ẩm và tốc độ gió. Giả sử một quả bóng thám không có dạng hình cầu với bán kính 10 m. Hỏi diện tích bề mặt của quả bóng thám không đó là bao nhiêu mét vuông?

Lời giải:

Diện tích bề mặt của quả bóng thám không đó là:

S = 4π.10² = 400π ≈ 1 256,64 (m²).

Bài 4 trang 108 Toán 9 Tập 2: Một bình nuôi cá cảnh có dạng hình cầu với đường kính khoảng 40 cm. Người ta muốn đổ vào bình nuôi cá đó một lượng nước bằng một nửa thể tích của bình (Hình 39). Hỏi cần phải đổ vào bình bao nhiêu lít nước (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Lời giải:

Bán kính của bình buôi cá cảnh có dạng hình cầu đó là:

40 : 2 = 20 (cm).

Thể tích của bình buôi cá cảnh có dạng hình cầu đó là:

$V_b=\frac{4}{3}\pi \cdot {20}^3=\frac{32000\pi }{3}{\text{ (cm}}^3\text{)}=\frac{32\pi }{3}{\text{ (dm}}^3\text{)}.$

Do người ta muốn đổ vào bình nuôi cá đó một lượng nước bằng một nửa thể tích của bình nên thể tích nước đổ vào là:

$V_n=\frac{1}{2}{V}_b=\frac{1}{2}\cdot \frac{32\pi }{3}=\frac{16\pi }{3}{\text{ (dm}}^3\text{)}\approx 16,8{\text{ (dm}}^3\text{)}=16,8\left(l\right).$

Xem thêm các bài giải bài tập Toán lớp 9 Cánh diều hay, chi tiết khác:

§1. Hình trụ

§2. Hình nón

§3. Hình cầu

Bài tập cuối chương 10

Chủ đề 3. Tạo đồ dùng dạng hình nón, hình trụ

Thực hành phần mền Geogebra