Giải SGK Toán 9 Bài 27 (Kết nối tri thức): Góc nội tiếp

Giải bài tập Toán 9 Bài 27: Góc nội tiếp

Mở đầu trang 67 Toán 9 Tập 2: Chúng ta đã biết số đo góc ở tâm BOC của đường tròn (O) trong Hình 9.1 bằng số đo của cung bị chắn $\stackrel{⏜}{BC}.$ Vậy số đo của góc này có quan hệ gì với số đo của góc BAC?

 

Lời giải:

Sau bài học này, chúng ta sẽ trả lời được câu hỏi trên như sau:

Xét đường tròn (O) có $\widehat{BAC}$ và $\widehat{BOC}$ lần lượt là góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung BC.

Do đó $\widehat{BAC}=\frac{1}{2}\widehat{BOC}.$

HĐ trang 68 Toán 9 Tập 2: Vẽ đường tròn tâm O có bán kính bằng 2 cm và dây cung AB có độ dài bằng 2 cm. Lấy một điểm C tuỳ ý nằm trên cung lớn AmB (H.9.2).

a) Cho biết số đo của góc ở tâm AOB và số đo của cung bị chắn AB.

b) Đo góc ACB và so sánh với kết quả của bạn bên cạnh.

c) Lấy điểm D tuỳ ý nằm trên cung ACB. Đo góc ADB và so sánh với các góc ACB và AOB.

Lời giải:

a) Vì A, B thuộc (O; 2 cm) nên OA = OB = 2 cm.

Tam giác OAB có OA = OB = AB = 2 cm nên là tam giác đều.

Do đó $\widehat{AOB}=60°.$

Suy ra $sđ\stackrel{⏜}{AB}=\widehat{AOB}=60°.$

b) Sử dụng thước đo góc, ta đo được $\widehat{ACB}=30°.$

c) Sử dụng thước đo góc, ta đo được $\widehat{ADB}=30°.$

So sánh góc ADB với các góc ACB và AOB ta có:

$\widehat{ADB}=\widehat{ACB}$ và $\widehat{ADB}=\frac{1}{2}\widehat{AOB}.$

Câu hỏi trang 70 Toán 9 Tập 2: Hãy cho biết số đo của góc nội tiếp tìm được trong Hình 9.3 ở Ví dụ 1, biết rằng số đo của các cung màu xanh trong hình đều bằng 120°.

Lời giải:

Theo kết quả của Ví dụ 1, ta có góc B là góc nội tiếp của đường tròn.

Vì góc B là góc nội tiếp trong đường tròn nên $\hat{B}=\frac{1}{2}\cdot 120°=60°.$

Luyện tập trang 70 Toán 9 Tập 2: Cho đường tròn tâm O và hai dây cung AB, CD cắt nhau tại điểm X nằm trong đường tròn (H.9.6). Chứng minh rằng ∆AXC ᔕ ∆DXB.

Lời giải:

Xét đường tròn tâm O, có $\widehat{ACD}$ và $\widehat{ABD}$ là hai góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ AD

Suy ra $\widehat{ACD}=\widehat{ABD}$ hay $\widehat{ACX}=\widehat{DBX}.$

Xét ∆AXC và ∆DXB có:

$\widehat{AXC}=\widehat{DXB}$ (hai góc đối đỉnh) và $\widehat{ACX}=\widehat{DBX}$ (chứng minh trên)

Do đó ∆AXC ᔕ ∆DXB (g.g).

Vận dụng trang 70 Toán 9 Tập 2: Trở lại tình huống mở đầu, hãy tính số đo của góc BAC nếu biết đường tròn có bán kính 2 cm và dây cung BC = 2$\sqrt{2}$ cm.

Anh Pi gợi ý: Tam giác BOC có phải là tam giác vuông không?

Lời giải:

Vì B, C thuộc (O; 2 cm) nên OB = OC = 2 cm.

Xét ∆OBC có OB² + OC² = 2² + 2² = 8 và $B{C}^2={\left(2\sqrt{2}\right)}^2=8.$

Do đó OB² + OC² = BC² nên ∆OBC là tam giác OBC vuông tại O (định lí Pythagore đảo).

Suy ra $\widehat{BOC}=90°.$

Xét đường tròn (O) có $\widehat{BAC}$ và $\widehat{BOC}$ lần lượt là góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung BC nên $\widehat{BAC}=\frac{1}{2}\widehat{BOC}=\frac{1}{2}\cdot 90°=45°.$

Bài tập

Bài 9.1 trang 70 Toán 9 Tập 2: Những khẳng định nào sau đây là đúng?

a) Hai góc nội tiếp bằng nhau thì chắn cùng một cung.

b) Góc nội tiếp nhỏ hơn 90° có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm chắn cùng một cung.

c) Góc nội tiếp chắn cung nhỏ có số đo bằng số đo của góc ở tâm chắn cùng một cung.

d) Hai góc nội tiếp bằng nhau thì chắn hai cung bằng nhau.

Lời giải:

Trong cùng một đường tròn hoặc hai đường tròn bằng nhau, ta có:

⦁ Hai góc nội tiếp bằng nhau thì chắn hai cung bằng nhau, chưa chắc đã chắn cùng một cung. Do đó khẳng định a) là sai và khẳng định d) là đúng.

⦁ Góc nội tiếp nhỏ hơn 90° có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm chắn cùng một cung. Do đó khẳng định b) là đúng.

⦁ Góc nội tiếp chắn cung nhỏ có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm chắn cùng một cung. Do đó khẳng định c) là sai.

Vậy các khẳng định đúng là: b, d.

Bài 9.2 trang 71 Toán 9 Tập 2: Cho các điểm như Hình 9.7. Tính số đo các góc của tam giác ABC, biết rằng $\widehat{AOB}=120°,$ $\widehat{BOC}=80°.$

Lời giải:

Xét đường tròn (O) có:

⦁ $\widehat{BAC},\widehat{BOC}$ lần lượt là góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung nhỏ BC, nên $\widehat{BAC}=\frac{1}{2}\widehat{BOC}=\frac{1}{2}\cdot 80°=40°;$

⦁ $\widehat{ACB},\widehat{AOB}$ lần lượt là góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung nhỏ AB, nên $\widehat{ACB}=\frac{1}{2}\widehat{AOB}=\frac{1}{2}\cdot 120°=60°.$

Xét ∆ABC có: $\widehat{ABC}+\widehat{BAC}+\widehat{ACB}=180°$ (định lí tổng các góc của một tam giác)

Suy ra $\widehat{ABC}=180°-\widehat{ACB}-\widehat{BAC}=180°-60°-40°=80°.$

Vậy $\widehat{ABC}=80°,\widehat{BAC}=40°;\widehat{ACB}=60°.$

Bài 9.3 trang 71 Toán 9 Tập 2: Cho đường tròn (O) và hai dây cung AC, BD cắt nhau tại X (H.9.8). Tính số đo góc AXB biết rằng $\widehat{ADB}=30°$ và $\widehat{DBC}=50°.$

Lời giải:

Xét đường tròn (O) có $\widehat{ADB},\widehat{ACB}$ là hai góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ AB nên $\widehat{ACB}=\widehat{ADB}=30°.$

Vì $\widehat{AXB}$ là góc ngoài của ∆BXC tại đỉnh X nên ta có:

$\widehat{AXB}=\widehat{XCB}+\widehat{XBC}=30°+50°=80°.$

Vậy $\widehat{AXB}=80°.$

Bài 9.4 trang 71 Toán 9 Tập 2: Cho đường tròn (O) và hai dây cung AB, CD cắt nhau tại điểm I nằm trong (O) (H.9.9).

a) Biết rằng $\widehat{AOC}=60°,$ $\widehat{BOD}=80°.$ Tính số đo của góc AID.

b) Chứng minh rằng IA . IB = IC . ID.

Lời giải:

a) Xét đường tròn (O) có:

⦁ $\widehat{BAD},\widehat{BOD}$ lần lượt là góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung nhỏ BD, nên $\widehat{BAD}=\frac{1}{2}\widehat{BOD}=\frac{1}{2}\cdot 80°=40°.$

⦁ Vì $\widehat{ADC},\widehat{AOC}$ lần lượt là góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung nhỏ AC, nên $\widehat{ADC}=\frac{1}{2}\widehat{AOC}=\frac{1}{2}\cdot 60°=30°.$

Xét ∆AID có: $\widehat{AID}+\widehat{DAI}+\widehat{ADI}=180°$ (định lí tổng các góc của một tam giác)

Suy ra $\widehat{AID}=180°-\widehat{DAI}-\widehat{ADI}=180°-40°-30°=110°.$

Vậy $\widehat{AID}=110°.$

b) Xét đường tròn (O) có $\widehat{ADC}$ và $\widehat{ABC}$ là hai góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ AC nên $\widehat{ADC}=\widehat{ABC}$ hay $\widehat{ADI}=\widehat{CBI}.$

Xét ∆AID và ∆CIB có:

$\widehat{AID}=\widehat{CIB}$ (hai góc đối đỉnh);

$\widehat{ADI}=\widehat{CBI}$ (chứng minh trên).

Do đó ∆AID ᔕ ∆CIB (g.g).

Suy ra $\frac{IA}{IC}=\frac{ID}{IB}$ (tỉ số các cạnh tương ứng) hay IA . IB = IC . ID.

Bài 9.5 trang 71 Toán 9 Tập 2: Cho đường tròn (O), đường kính AB và điểm S nằm ngoài (O). Cho hai đường thẳng SA, SB lần lượt cắt (O) tại M (khác A) và N (khác B). Gọi P là giao điểm của BM và AN (H.9.10). Chứng minh rằng SP vuông góc với AB.

Lời giải:

Xét đường tròn (O) có: $\widehat{AMB}$ và $\widehat{ANB}$ đều là góc nội tiếp cùng chắn nửa đường tròn nên $\widehat{AMB}=90°$ và $\widehat{ANB}=90°.$

Suy ra BM ⊥ AM và AN ⊥ BN

Hay BM ⊥ AS và AN ⊥ BS.

Xét ∆ABS có AN, BM là hai đường cao (BM ⊥ AS và AN ⊥ BS) cắt nhau tại P nên P là trực tâm của ∆ABS, suy ra SP ⊥ AB.

Vậy SP ⊥ AB.

Bài 9.6 trang 71 Toán 9 Tập 2: Trên sân bóng, khi quả bóng được đặt tại điểm phạt đền thì có góc sút bằng 36° và quả bóng cách mỗi cọc gôn 11,6 m (H.9.11). Hỏi khi quả bóng đặt ở vị trí cách điểm phạt đến 11,6 m thì góc sút bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Hình vẽ dưới đây minh họa cho bài toán trên với A, B lần lượt là các cọc gôn, C là vị trí đặt bóng và O là vị trí điểm phạt đền.

Vì OA = OB = OC = 11,6 m nên A, B, C cùng thuộc đường tròn (O; 11,6 m).

Xét đường tròn (O; 11,6 m) có $\widehat{ACB},\widehat{AOB}$ lần lượt là góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung nhỏ AB nên $\widehat{ACB}=\frac{1}{2}\cdot \widehat{AOB}=\frac{1}{2}\cdot 36°=18°.$

Vậy khi quả bóng đặt ở vị trí cách điểm phạt đến 11,6 m thì góc sút bằng 18°.

Xem thêm các bài giải bài tập Toán lớp 9 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài tập cuối chương VIII

Bài 27. Góc nội tiếp

Bài 28. Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp của một tam giác

Luyện tập chung trang 78

Bài 29. Tứ giác nội tiếp

Bài 30. Đa giác đều