Giải SGK Toán 9 Bài 11 (Kết nối tri thức): Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Giải bài tập Toán 9 Bài 11: Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Mở đầu trang 66 Toán 9 Tập 2: Ta có thể xác định “góc dốc” α của một đoạn đường dốc khi biết độ dài của dốc là a và độ cao của đỉnh dốc so với đường nằm ngang là h không? (H.4.1). (Trong các tòa chung cư, người ta thường thiết kế đoạn dốc cho người đi xe lăn với góc dốc bé hơn 6°).

Lời giải:

Sau bài học này, chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:

Theo định nghĩa tỉ số lượng giác sin, ta có $\sin \alpha =\frac{h}{a}.$

Vậy ta sẽ xác định được “góc dốc” α của một đoạn đường dốc khi biết độ dài của dốc là a và độ cao của đỉnh dốc so với đường nằm ngang là h.

1. Khái niệm tỉ số lượng giác của một góc nhọn

Câu hỏi trang 67 Toán 9 Tập 1: Xét góc C của tam giác ABC vuông tại A (H.4.3). Hãy chỉ ra cạnh đối và cạnh kề của góc C.

Lời giải:

Góc C có cạnh đối là AB và cạnh kề là AC.

HĐ1 trang 67 Toán 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A và tam giác A’B’C’ vuông tại A’ có $\widehat{B}=\widehat{B^{‘}}=\alpha .$ Chứng minh rằng:

a) ∆ABC ᔕ ∆A’B’C’;

b) $\frac{AC}{BC}=\frac{A^{‘}{C}^{‘}}{B^{‘}{C}^{‘}};\frac{AB}{BC}=\frac{A^{‘}{B}^{‘}}{B^{‘}{C}^{‘}};\frac{AC}{AB}=\frac{A^{‘}{C}^{‘}}{A^{‘}{B}^{‘}};\frac{AB}{AC}=\frac{A^{‘}{B}^{‘}}{A^{‘}{C}^{‘}}.$

Lời giải:

a) Xét ∆ABC và ∆A’B’C’ có:

$\widehat{A}=\widehat{A^{‘}}=90°; \widehat{B}=\widehat{B^{‘}}=\alpha .$

Do đó ∆ABC ᔕ ∆A’B’C’ (g.g).

b) Từ ∆ABC ᔕ ∆A’B’C’ (câu a), suy ra: $\frac{AB}{A^{‘}{B}^{‘}}=\frac{AC}{A^{‘}{C}^{‘}}=\frac{BC}{B^{‘}{C}^{‘}}$(tỉ lệ các cạnh tương ứng).

Từ $\frac{AB}{A^{‘}{B}^{‘}}=\frac{AC}{A^{‘}{C}^{‘}},$ ta có $\frac{AB}{AC}=\frac{A^{‘}{B}^{‘}}{A^{‘}{C}^{‘}}$ và (tính chất tỉ lệ thức).

Từ $\frac{AC}{A^{‘}{C}^{‘}}=\frac{BC}{B^{‘}{C}^{‘}},$ ta có $\frac{AC}{BC}=\frac{A^{‘}{C}^{‘}}{B^{‘}{C}^{‘}}$ (tính chất tỉ lệ thức).

Từ $\frac{AB}{A^{‘}{B}^{‘}}=\frac{BC}{B^{‘}{C}^{‘}},$ ta có $\frac{AB}{BC}=\frac{A^{‘}{B}^{‘}}{B^{‘}{C}^{‘}}$ (tính chất tỉ lệ thức).

Vậy $\frac{AC}{BC}=\frac{A^{‘}{C}^{‘}}{B^{‘}{C}^{‘}};\frac{AB}{BC}=\frac{A^{‘}{B}^{‘}}{B^{‘}{C}^{‘}};\frac{AC}{AB}=\frac{A^{‘}{C}^{‘}}{A^{‘}{B}^{‘}};\frac{AB}{AC}=\frac{A^{‘}{B}^{‘}}{A^{‘}{C}^{‘}}.$

Luyện tập 1 trang 68 Toán 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 5 cm, AC = 12 cm. Hãy tính các tỉ số lượng giác của góc B.

Lời giải:

Xét ∆ABC vuông tại A, theo định lí Pythagore, ta có:

BC² = AB² + AC² = 5² + 12² = 169 nên BC = 13 (cm).

Theo định nghĩa của tỉ số lượng giác sin, côsin, tang, côtang ta có:

$\sin B=\frac{AC}{BC}=\frac{12}{13},\cos B=\frac{AB}{BC}=\frac{5}{13};\tan B=\frac{AC}{AB}=\frac{12}{5};\cot B=\frac{AB}{AC}=\frac{5}{12}.$

Luyện tập 1 trang 68 Toán 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 5 cm, AC = 12 cm. Hãy tính các tỉ số lượng giác của góc B.

Lời giải:

Xét ∆ABC vuông tại A, theo định lí Pythagore, ta có:

BC² = AB² + AC² = 5² + 12² = 169 nên BC = 13 (cm).

Theo định nghĩa của tỉ số lượng giác sin, côsin, tang, côtang ta có:

$\sin B=\frac{AC}{BC}=\frac{12}{13},\cos B=\frac{AB}{BC}=\frac{5}{13};\tan B=\frac{AC}{AB}=\frac{12}{5};\cot B=\frac{AB}{AC}=\frac{5}{12}.$

HĐ2 trang 69 Toán 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông cân tại A và AB = AC = a (H.4.7a).

a) Hãy tính BC và các tỉ số $\frac{AB}{BC},\frac{AC}{BC}.$ Từ đó suy ra sin45°, cos45°.

b) Hãy tính các tỉ số $\frac{AB}{AC}$và $\frac{AC}{AB}.$Từ đó suy ra tan45°, cot45°.

Lời giải:

Xét ∆ABC vuông tại A, theo định lí Pythagore, ta có:

BC² = AB² + AC² = a² + a² = 2a², suy ra $BC=\sqrt{2a^2}=a\sqrt{2}$(cm).

∆ABC vuông tại A có AB = AC nên ∆ABC vuông cân tại A nên $\widehat{B}=\widehat{C}=45°.$

a) Ta có: $\frac{AB}{BC}=\frac{a}{a\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ và $\frac{AC}{BC}=\frac{a}{a\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$

Do đó $\sin 45°=\sin B=\frac{AC}{BC}=\frac{\sqrt{2}}{2};$ $\cos 45°=\cos B=\frac{AB}{BC}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$

b) Ta có: $\frac{AB}{AC}=\frac{a}{a}=1;\frac{AC}{AB}=\frac{a}{a}=1.$

Do đó $\tan 45°=\tan B=\frac{AC}{AB}=1;\cot 45°=\cot B=\frac{AB}{AC}=1.$

HĐ3 trang 69 Toán 9 Tập 1: Xét tam giác đều ABC có cạnh bằng 2a.

a) Tính đường cao AH của tam giác ABC (H.4.7b).

b) Tính sin30°, cos30°, sin60° và cos60°.

c) Tính tan30°, cot30°, tan60° và cot60°.

Lời giải:

a) Tam giác ABC đều có đường cao AH nên AH cũng là đường trung tuyến của tam giác. Do đó H là trung điểm của BC nên $BH=HC=\frac{BC}{2}=\frac{2a}{2}=a.$

Xét ∆ABH vuông tại H, theo định lí Pythagore, ta có:

AB² = AH² + HB², suy ra AH² = AB² – HB² = (2a)² – a² = 4a² – a² = 3a².

Do đó $AH=\sqrt{3a^2}=a\sqrt{3}.$

b) Tam giác ABC đều nên $\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}=60°.$

Tam giác ABC đều có đường cao AH nên AH cũng là đường phân giác của $\widehat{BAC}$ của tam giác. Do đó $\widehat{BAH}=\widehat{CAH}=\frac{1}{2}\widehat{BAC}=\frac{1}{2}\cdot 60°=30°.$

Do đó $\sin 30°=\sin \widehat{BAH}=\frac{BH}{AB}=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2};$

$\cos 30°=\cos \widehat{BAH}=\frac{AH}{AB}=\frac{a\sqrt{3}}{2a}=\frac{\sqrt{3}}{2};$

$\sin 60°=\sin B=\frac{AH}{AB}=\frac{a\sqrt{3}}{2a}=\frac{\sqrt{3}}{2};$

$\cos 60°=\cos B=\frac{BH}{AB}=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}.$

c) $\tan 30°=\tan \widehat{BAH}=\frac{BH}{AH}=\frac{a}{a\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3};$

$\cot 30°=\cot \widehat{BAH}=\frac{AH}{BH}=\frac{a\sqrt{3}}{a}=\sqrt{3};$

$\tan 60°=\tan B=\frac{AH}{BH}=\frac{a\sqrt{3}}{a}=\sqrt{3};$

$\cot 60°=\tan \widehat{ABH}=\frac{BH}{AH}=\frac{a}{a\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}.$

Luyện tập 2 trang 70 Toán 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có $\widehat{C}=45°$ và AB = c. Tính BC và AC theo c.

Lời giải:

Ta có: $\tan C=\frac{AB}{AC},$ suy ra $AC=\frac{AB}{\tan C}=\frac{c}{\tan 45°},$ mà tan45° = 1 nên $AC=\frac{c}{1}=c.$

Tương tự, $\sin C=\frac{AB}{BC},$ suy ra $BC=\frac{AB}{\sin C}=\frac{c}{\sin 45°},$ mà $\sin 45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$ nên $BC=\frac{c}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{2c}{\sqrt{2}}=c\sqrt{2}.$

2. Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau

HĐ4 trang 70 Toán 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại C, có $\widehat{A}=\alpha ,\widehat{B}=\beta$(H.4.9). Hãy viết các tỉ số lượng giác của góc α, β theo độ dài các cạnh của tam giác ABC. Trong các tỉ số đó, cho biết các cặp tỉ số bằng nhau.

Lời giải:

Xét ∆ABC vuông tại C, theo định nghĩa tỉ số lượng giác, ta có:

$sin\alpha =\frac{BC}{AB};\cos \alpha =\frac{AC}{AB};\tan \alpha =\frac{BC}{AC};\cot \alpha =\frac{AC}{BC};$

$sin\beta =\frac{AC}{AB};\cos \beta =\frac{BC}{AB};\tan \beta =\frac{AC}{BC};\cot \beta =\frac{BC}{AC}.$

Từ đó ta có: sinα = cosβ; cosα = sinβ; tanα = cosβ; cotα = tanβ.

Luyện tập 3 trang 70 Toán 9 Tập 1: Hãy giải thích tại sao sin35° = cos55°, tan35° = cot55°.

Lời giải:

Ta có sin35° = cos(90° – 35°) = 55°; tan35° = cot(90° – 35°) = cot55°.

3. Sử dụng máy tính cầm tay tính tỉ số lượng giác của một góc nhọn

Luyện tập 4 trang 71 Toán 9 Tập 1: Sử dụng MTCT tính các tỉ số lượng giác và làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ ba:

a) sin40°54’;

b) cos52°15’;

c) tan69°36’;

d) cot25°18’.

Lời giải:

Làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba, ta được:

sin40°54’ ≈ 0,655; cos52°15’ ≈ 0,612; tan69°36’ ≈ 2,689; cot25°18’ ≈ 2,116.

Luyện tập 5 trang 72 Toán 9 Tập 1: Dùng MTCT, tìm các góc α (làm tròn đến phút), biết:

a) sinα = 0,3782;

b) cosα = 0,6251;

c) tanα = 2,154;

d) cotα = 3,253.

Lời giải:

Vận dụng trang 72 Toán 9 Tập 1: Trở lại bài toán ở tình huống mở đầu. Trong một tòa chung cư, biết đoạn dốc vào sảnh tòa nhà dài 4 m, độ cao của đỉnh dốc bằng 0,4 m.

a) Hãy tính góc dốc.

b) Hỏi góc đó có đúng tiêu chuẩn của dốc cho người đi xe lăn không?

Lời giải:

a) Theo định nghĩa tỉ số lượng giác sin, ta có $\sin \alpha =\frac{h}{a}=\frac{\mathrm{0,4}}{4}=\mathrm{0,1,}$ do đó α ≈ 5°44’.

b) Trong các tòa chung cư, người ta thường thiết kế đoạn dốc cho người đi xe lăn với góc dốc bé hơn 6°.

Vì α ≈ 5°44’ < 6° nên góc đó đúng tiêu chuẩn của dốc cho người đi xe lăn.

Tranh luận trang 72 Toán 9 Tập 1: Để tính khoảng cách giữa hai địa điểm A, B không đo trực tiếp được, chẳng hạn A và B là hai địa điểm ở hai bên sông, người ta lấy điểm C về phía bờ sông có chứa B sao cho tam giác ABC vuông tại B. Ở bên bờ sông chứa B, người ta đo được $\widehat{ACB}=\alpha$ và BC = a (H.4.10). Với các dữ liệu đó, đã tính được khoảng cách AB chưa? Nếu được, hãy tính AB, biết α = 55°, a = 70 m.

Vuông cho rằng: Không thể tính được AB vì trong tam giác vuông ABC, theo định lí Pythagore, phải biết được hai cạnh mới tính được cạnh thứ ba.

Tròn khẳng định: Với các dữ liệu đã biết là có thể tính được khoảng cách AB rồi.

Em hãy cho biết ý kiến của mình.

Lời giải:

Em đồng ý với ý kiến của bạn Tròn, tức là với các dữ liệu đã biết là có thể tính được khoảng cách AB.

Giải thích: Ta có $\tan \alpha =\frac{AB}{BC},$ suy ra AB = BC.tanα = a.tanα.

Với α = 55°, a = 70 m, ta có: AB = 70.tan55° ≈ 99,97 (m).

Bài tập

Bài 4.1 trang 73 Toán 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Tính các tỉ số lượng giác sin, coossin, tang, cotang của các góc nhọn B và C khi biết:

a) AB = 8 cm, BC = 17 cm;

b) AC = 0,9 cm, AB = 1,2 cm.

Lời giải:

a) Xét ∆ABC vuông tại A, theo định lí Pythagore, ta có:

BC² = AB² + AC²

Suy ra AC² = BC² – AB² = 17² – 8² = 225.

Do đó AC = 15 cm.

Xét ∆ABC vuông tại A, theo định nghĩa tỉ số lượng giác sin, côsin, tang, cotang và định lí tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau, ta có:

● $\sin B=\cos C=\frac{AC}{BC}=\frac{15}{17};$

● $\cos B=\sin C=\frac{AB}{BC}=\frac{8}{17};$

● $\tan B=\cot C=\frac{AC}{AB}=\frac{15}{8};$

● $\cot B=\tan C=\frac{AB}{AC}=\frac{8}{15}.$

b) Xét ∆ABC vuông tại A, theo định lí Pythagore, ta có:

BC² = AB² + AC² = 1,2² + 0,9² = 2,25

Do đó BC = 1,5 cm.

Xét ∆ABC vuông tại A, theo định nghĩa tỉ số lượng giác sin, côsin, tang, cotang và định lí tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau, ta có:

● $\sin B=\cos C=\frac{AC}{BC}=\frac{\mathrm{0,9}}{\mathrm{1,5}}=\frac{3}{5};$

● $\cos B=\sin C=\frac{AB}{BC}=\frac{\mathrm{1,2}}{\mathrm{1,5}}=\frac{4}{5};$

● $\tan B=\cot C=\frac{AC}{AB}=\frac{\mathrm{0,9}}{\mathrm{1,2}}=\frac{3}{4};$

● $\cot B=\tan C=\frac{AB}{AC}=\frac{\mathrm{1,2}}{\mathrm{0,9}}=\frac{4}{3}.$

Bài 4.2 trang 73 Toán 9 Tập 1: Cho tam giác vuông có một góc nhọn 60° và cạnh kề với góc 60° bằng 3 cm. Hãy tính cạnh đối của góc này.

Lời giải:

Xét ∆ABC có $\widehat{B}=60°,$ cạnh kề với góc B là AB = 3 cm. Ta cần tính cạnh đối của góc B là AC.

Theo định nghĩa tỉ số lượng giác tan, ta có $\tan B=\frac{AC}{AB}.$

Suy ra $AC=AB.tanB=3tan60°=3\sqrt{3}$(cm).

Vậy cạnh đối của góc nhọn 60° là $3\sqrt{3}\text{ cm}.$

Bài 4.3 trang 73 Toán 9 Tập 1: Cho tam giác vuông có một góc nhọn bằng 30° và cạnh đối với góc này bằng 5 cm. Tính độ dài cạnh huyền của tam giác.

Lời giải:

Xét ∆ABC vuông tại A có $\widehat{B}=30°,$ cạnh đối với góc B là AC = 5 cm. Ta cần tính cạnh huyền của tam giác là BC.

Theo định nghĩa tỉ số lượng giác sin, ta có $\sin B=\frac{AC}{BC}.$

Suy ra $BC=\frac{AC}{\sin B}=\frac{5}{\sin 30°}=\frac{5}{\frac{1}{2}}=10$(cm).

Vậy cạnh huyền của tam giác là 10 cm.

Bài 4.4 trang 73 Toán 9 Tập 1: Cho hình chữ nhật có chiều dài và chiều rộng lần lượt là 3 và √3. Tính góc giữa đường chéo và cạnh ngắn hơn của hình chữ nhật (sử dụng bảng giá trị lượng giác trang 69).

Lời giải:

Gọi hình chữ nhật trong bài là hình chữ nhật ABCD với chiều rộng là cạnh $AD=\sqrt{3},$ chiều dài là cạnh CD = 3, đường chéo AC, góc tạo bởi đường chéo và cạnh ngắn hơn của hình chữ nhật là góc α.

Xét ∆ABC vuông tại D, theo định nghĩa tỉ số lượng giác tan, ta có:

$\tan \alpha =\frac{CD}{AD}=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3},$ suy ra α = 60°.

Vậy góc giữa đường chéo và cạnh ngắn hơn của hình chữ nhật đã cho là 60°.

Bài 4.5 trang 73 Toán 9 Tập 1: a) Viết các tỉ số lượng giác sau thành tỉ số lượng giác của các góc nhỏ hơn 45°:

sin55°, cos62°, tan57°, cot64°.

b) Tính $\frac{\tan 25°}{\cot 65°},\tan 34°-\cot 56°.$

Lời giải:

a) Áp dụng định lí tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau, ta có:

⦁ sin55° = cos(90° – 55°) = cos35°;

⦁ cos62° = sin(90° – 62°) = sin28°;

⦁ tan57° = cot(90° – 57°) = cot33°;

⦁ cot64° = tan(90° – 64°) = tan26°.

b) Áp dụng định lí tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau, ta có:

$\frac{\tan 25°}{\cot 65°}=\frac{\cot \left(90°-25°\right)}{\cot 65°}=\frac{\cot 65°}{\cot 65°}=1;$

⦁ tan34° – cot56° = tan34° – tan(90° – 56°) = tan34° – tan34° = 0.

Bài 4.6 trang 73 Toán 9 Tập 1: Dùng MTCT, tính (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba):

a) sin40°12’;

b) cos52°54’;

c) tan63°36’;

d) cot35°20’.

Lời giải:

Làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba, ta được:

sin40°12’ ≈ 0,645; cos52°54’ ≈ 0,603; tan63°36’ ≈ 2,014; cot35°20’ ≈ 1,411.

Bài 4.7 trang 73 Toán 9 Tập 1: Dùng MTCT, tìm số đo của góc nhọn x (làm tròn đến phút), biết rằng:

a) sinx = 0,2368;

b) cosx = 0,6224;

c) tanx = 1,236;

d) cotx = 2,154.

Lời giải:

Xem thêm các bài giải bài tập Toán lớp 9 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài tập cuối chương 3

Bài 11. Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Bài 12. Một số hệ thức giữa cạnh, góc trong tam giác vuông và ứng dụng

Luyện tập chung trang 79

Bài tập cuối chương 4

Bài 13. Mở đầu về đường tròn