Lý thuyết Tọa độ của vectơ (Cánh diều 2023) hay, chi tiết

Với tóm tắt lý thuyết Toán lớp 10 Bài 1: Tọa độ của vectơ sách Cánh diều hay, chi tiết cùng với bài tập tự luyện chọn lọc giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán lớp 10.
Lý thuyết Toán lớp 10 Bài 1: Tọa độ của vectơ
A. Lý thuyết
I. Tọa độ của một điểm
Để xác định tọa độ của một điểm M tùy ý trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta làm như sau (Hình 3):

+ Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với trục hoành và cắt trục hoành tại điểm H ứng với số a. Số a là hoành độ của điểm M.
+ Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với trục tung và cắt trục tung tại điểm K ứng với số b. Số b là tung độ của điểm M.
Cặp số (a; b) là tọa độ của điểm M trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Ta kí hiệu là M(a ; b).
Ví dụ: Xác định tọa độ của điểm B trong hình vẽ sau:

Hướng dẫn giải
+ Từ B kẻ đường thẳng vuông góc với trục hoành và cắt trục hoành tại điểm ứng với số –3. Số –3 là hoành độ của điểm B.
+ Từ B kẻ đường thẳng vuông góc với trục tung và cắt trục tung tại điểm ứng với số 3. Số 3 là tung độ của điểm M.
Khi đó, cặp số (–3; 3) là tọa độ của điểm B.
Vậy điểm B có tọa độ là B(–3; 3).

II. Tọa độ của một vectơ
Tọa độ của điểm M được gọi là tọa độ của vectơ $\overrightarrow{OM}$.
Nếu $\overrightarrow{OM}$ có tọa độ (a; b) thì ta viết $\overrightarrow{OM}$ = (a; b) hay $\overrightarrow{OM}$ (a; b), trong đó a gọi là hoành độ của vectơ $\overrightarrow{OM}$ và b gọi là tung độ của vectơ $\overrightarrow{OM}$ (Hình 4).

Chú ý: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta có:
+ $\overrightarrow{OM}$ = (a; b) ⇔ M(a ; b).
+ Vectơ $\overrightarrow{i}$ có điểm gốc là O và có tọa độ (1; 0) gọi là vectơ đơn vị trên trục Ox.
Vectơ $\overrightarrow{j}$ có điểm gốc là O và có tọa độ (0; 1) gọi là vectơ đơn vị trên trục Oy (Hình 4).

Ví dụ: Tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{OM}$, $\overrightarrow{ON}$ trong hình sau:

Hướng dẫn giải
Ta thấy điểm M có tọa độ là (–2 ; 4)
Suy ra $\overrightarrow{OM}$ = (–2 ; 4).
Điểm N có tọa độ là (2 ; –1)
Suy ra $\overrightarrow{ON}$ = (2 ; –1).
Vậy $\overrightarrow{OM}$ = (–2 ; 4) và $\overrightarrow{ON}$ = (2 ; –1).
Nhận xét:
– Với mỗi vectơ $\overrightarrow{u}$, ta xác định được duy nhất một điểm A sao cho $\overrightarrow{OA}$ = $\overrightarrow{u}$.
– Với mỗi vectơ $\overrightarrow{u}$ trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tọa độ của vectơ $\overrightarrow{u}$ là tọa độ của điểm A, trong đó A là điểm sao cho $\overrightarrow{OA}$ = $\overrightarrow{u}$.
– Nếu $\overrightarrow{u}$ có tọa độ (a; b) thì ta viết $\overrightarrow{u}$ = (a; b) hay $\overrightarrow{u}$(a; b), trong đó a gọi là hoành độ của vectơ $\overrightarrow{u}$ và b gọi là tung độ của vectơ $\overrightarrow{u}$.
Ví dụ: Tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{u}$ trong hình vẽ sau:

Hướng dẫn giải
Ta xác định vectơ $\overrightarrow{u}$ = $\overrightarrow{OA}$ như hình sau:

Ta thấy điểm A(2 ; 2) nên $\overrightarrow{OA}$ = (2 ; 2).
Suy ra $\overrightarrow{u}$ = (2 ; 2).
Vậy $\overrightarrow{u}$ = (2 ; 2).
Định lí: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nếu $\overrightarrow{u}$ = (a ; b)  thì $\overrightarrow{u}$ = a$\overrightarrow{i}$ + b$\overrightarrow{j}$. Ngược lại, nếu $\overrightarrow{u}$ = a$\overrightarrow{i}$ + b$\overrightarrow{j}$ thì $\overrightarrow{u}$ = (a ; b).
Chú ý: Với $\overrightarrow{a}$ = (x₁ ; y₁) và $\overrightarrow{b}$ = (x₂ ; y₂), ta có $\overrightarrow{a}$ = $\overrightarrow{b}$ ⇔ $\left\{\begin{array}{l}{x}_1=x_2\\ y_1=y_2\end{array}\right.$ 
Như vậy, mỗi vectơ hoàn toàn được xác định khi biết tọa độ của nó.
Ví dụ: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M(2; 3) và vectơ $\overrightarrow{u}$ = (1; – 3).
a) Biểu diễn vectơ $\overrightarrow{u}$ qua hai vectơ $\overrightarrow{i}$ và $\overrightarrow{j}$.
b) Biểu diễn vectơ $\overrightarrow{OM}$  qua hai vectơ $\overrightarrow{i}$ và $\overrightarrow{j}$.
Hướng dẫn giải
a) Vì vectơ $\overrightarrow{u}$ = (1; – 3) nên $\overrightarrow{u}$ = 1$\overrightarrow{i}$ + (– 3)$\overrightarrow{j}$ = $\overrightarrow{i}$ – 3$\overrightarrow{j}$
Vậy $\overrightarrow{u}$ = $\overrightarrow{i}$ – 3$\overrightarrow{j}$
b) Vì điểm M có tọa độ là (2 ; 3) nên $\overrightarrow{OM}$ = (2 ; 3).
Do đó: $\overrightarrow{OM}$ = 2$\overrightarrow{i}$ + 3$\overrightarrow{j}$.
Vậy $\overrightarrow{OM}$ = 2$\overrightarrow{i}$ + 3$\overrightarrow{j}$.
III. Liên hệ giữa tọa độ của điểm và tọa độ của vectơ
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(x_A; y_A) và B(x_B; y_B).
Ta có $\overrightarrow{AB}$  = (x_B – x_A ; y_B – y_A).
Ví dụ: Cho hai điểm A(2; –4) và B(1; 5). Hãy tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$.
Hướng dẫn giải
Ta có $\overrightarrow{AB}$ = (1 – 2; 5 – (–4)) = (–1 ; 9).
Vậy $\overrightarrow{AB}$ = (–1 ; 9).
B. Bài tập tự luyện
B.1 Bài tập tự luận
Bài 1. Tìm tọa độ của các vectơ sau:
a) $\overrightarrow{a}$ = 3$\overrightarrow{i}$ + $\overrightarrow{j}$;
b) $\overrightarrow{b}$ = – 2$\overrightarrow{j}$;
c) $\overrightarrow{c}$ = $\overrightarrow{i}$ – $\sqrt{3}$$\overrightarrow{j}$.
Hướng dẫn giải
a) Ta có $\overrightarrow{a}$ = 3$\overrightarrow{i}$ + $\overrightarrow{j}$ = 3$\overrightarrow{i}$ + 1$\overrightarrow{j}$
Suy ra $\overrightarrow{a}$ = (3 ; 1).
Vậy $\overrightarrow{a}$ = (3 ; 1).
b) Ta có $\overrightarrow{b}$ = –2$\overrightarrow{j}$ = 0$\overrightarrow{i}$ + (–2)$\overrightarrow{j}$
Suy ra $\overrightarrow{b}$ = (0 ; –2).
Vậy $\overrightarrow{b}$ = (0 ; –2).
c) Ta có $\overrightarrow{c}$ = $\overrightarrow{i}$ – $\sqrt{3}$$\overrightarrow{j}$ = $\overrightarrow{i}$ + (– $\sqrt{3}$)$\overrightarrow{j}$.
Suy ra $\overrightarrow{c}$ = (1; – $\sqrt{3}$).
Vậy $\overrightarrow{c}$ = (1; – $\sqrt{3}$).
Bài 2. Cho 3 điểm A(0; 2), B(–1; 3), C(2; 5). Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
Hướng dẫn giải
Giả sử điểm D có tọa độ là (x_D ; y_D)
Ta có $\overrightarrow{AB}$ = (–1 – 0 ; 3 – 2) = (–1 ; 1)
$\overrightarrow{DC}$ = (2 – x_D ; 5 – y_D).
Để ABCD là hình bình hành thì $\overrightarrow{AB}$ = $\overrightarrow{DC}$.
$\overrightarrow{AB}$ = $\overrightarrow{DC}$ ⇔ $\left\{\begin{array}{l}-1=2-x_D\\ 1=5-y_D\end{array}\right.$ ⇔ $\left\{\begin{array}{l}{x}_D=3\\ y_D=4\end{array}\right.$
Suy ra điểm D có tọa độ là (3 ; 4).
Vậy để ABCD là hình bình hành thì D(3 ; 4).
Bài 3. Tìm số thực m và n sao cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ = (m; –4) và $\overrightarrow{b}$ = (–1; 3m + n) bằng nhau.
Hướng dẫn giải
Ta có $\overrightarrow{a}$ = $\overrightarrow{b}$ ⇔ $\left\{\begin{array}{l}m=-1\\ -4=3m+n\end{array}\right.$ ⇔ $\left\{\begin{array}{l}m=-1\\ -4=3.(-1)+n\end{array}\right.$ ⇔ $\left\{\begin{array}{l}m=-1\\ n=-1\end{array}\right.$  
Vậy để $\overrightarrow{a}$ = $\overrightarrow{b}$ thì m = –1 và n = –1.
B.2 Bài tập trắc nghiệm
Câu 1. Trong hệ tọa độ Oxy cho A(5; 2), B(10; 8). Tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$.
A. $\overrightarrow{AB}$ = (15; 10);
B. $\overrightarrow{AB}$ = (2; 4);
C. $\overrightarrow{AB}$ = (5; 6);
D. $\overrightarrow{AB}$ = (50; 16).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có: $\overrightarrow{AB}$ = (10 – 5 ; 8 – 2) = (5; 6).
Câu 2. Trong hệ tọa độ Oxy cho bốn điểm A(1; 1), B(2; – 1), C(4 ; 3), D (3 ; 5). Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Tứ giác ABCD là hình bình hành ;                        
B. A, B, C, D trùng nhau ;
C. $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD};$                                   
D. $\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}$ cùng phương.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là : A
Ta có : $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{AB}=\left(1;-2\right)\\ \overrightarrow{DC}=\left(1;-2\right)\end{array}\right.$$\Rightarrow$$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, do đó ABCD là hình bình hành.
Câu 3. Cho hai vectơ $\overrightarrow{u}=\left(2a-1;-3\right)$ và $\overrightarrow{v}=\left(3;4b+1\right)$. Tìm các số thực a và b sao cho cặp vectơ đã cho bằng nhau:
A. a = 2, b = – 1;
B. a = – 1, b = 2;
C. a = – 1, b = – 2;
D. a = 2, b = 1.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Để $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{v}\iff \left\{\begin{array}{l}2a-1=3\\ -3=4b+1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2a=4\\ 4b=-4\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=-1\end{array}\right.$.
Vậy a = 2 và b = – 1.

====== ****&**** =====