Tuyển chọn bài tập chứng minh hai đường thẳng vuông góc – Ôn thi vào 10

Tài liệu Chứng minh hai đường thẳng vuông góc – Ôn thi vào lớp 10 gồm các nội dung chính sau:

A. Kiến thức cần nhớ

– tóm tắt lý thuyết ngắn gọn.

B. Ví dụ minh họa

– gồm 3 ví dụ minh họa đa dạng của các dạng bài tập trên có lời giải chi tiết.

C. Bài tập vận dụng

– gồm 8 bài tập vận dụng giúp học sinh tự rèn luyện cách giải các dạng bài tập Chứng minh hai đường thẳng vuông góc – Ôn thi vào lớp 10.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây:

CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC

A. Kiến thức cần nhớ

Để chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau, ta có các cách sau:

– Hai đường thẳng đó cắt nhau và tạo ra một góc 90.

– Hai đường thẳng đó chứa hai tia phân giác của hai góc kề bù.

– Hai đường thẳng đó chứa hai cạnh của tam giác vuông.

– Tính chất từ vuông góc đến song song : Có một đường thẳng thứ 3 vừa song song với đường thẳng thứ nhất vừa vuông góc với đường thẳng thứ hai.

– Sử dụng tính chất đường trung trực của đoạn thẳng. Tính chất : Mọi điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.

– Sử dụng tính chất trực tâm của tam giác.

– Sử dụng tính chất đường phân giác, trung tuyến ứng với cạnh đáy của tam giác cân.

– Hai đường thẳng đó chứa hai đường chéo của hình vuông, hình thoi.

– Sử dụng tính chất đường kính và dây cung trong đường tròn.

– Sử dụng tính chất tiếp tuyến trong đường tròn

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hai đường tròn $\left(O_1\right)$ và $\left(O_2\right)$ cắt nhau tại A và B. Đường thẳng $O_{1}A$ cắt $\left(O_2\right)$ tại C, đường thẳng $O_{2}A$ cắt $\left(O_1\right)$ tại D, đường thẳng qua B song song với AD cắt $\left(O_1\right)$ tại E. Chứng minh rằng nếu DE song song với AC thì $O_{2}C$ vuông góc với CD.

Hướng dẫn giải

Tứ giác $ABED$ nội tiếp $\Rightarrow \angle O_{2}AB=\angle BED$

$\Rightarrow \angle ACB=\frac{1}{2}\angle A{O}_{2}B=\angle A{O}_2{O}_1$

$=90°-\angle O_{2}AB=90°-\angle BED$

$\angle ABC=\frac{1}{2}\angle A{O}_{2}C=90°-\angle O_{2}AC$ $=90°-\angle O_{1}AD$

Theo giả thiết, BE song song AD và DE song song $O_{1}A$

 

$\Rightarrow \angle ABC=\angle ACB\Rightarrow$ tam giác ABC cân tại $A\Rightarrow AB=AC$

Tứ giác $O_{1}DC{O}_2$ có $\angle CA{O}_2=\angle DA{O}_1$ (đối đỉnh)

Mà tam giác $AD{O}_1$ và tam giác $AC{O}_2$ cân

$\Rightarrow \angle A{O}_{1}D=\angle A{O}_{2}C\Rightarrow \angle C{O}_{1}D=\angle D{O}_{2}C\Rightarrow$ tứ giác $O_{1}DC{O}_2$ nội tiếp.

Mặt khác $\angle A{O}_2{O}_1=90°-\angle BED$ và $\angle O_{1}DA=\angle O_{1}AD=\angle BED$

$\Rightarrow \angle D{O}_2{O}_1+\angle O_{1}D{O}_2=\left(90°-\angle BED\right)+\angle BED=90°$

$\Rightarrow \angle D{O}_1{O}_2=90°\Rightarrow \angle DC{O}_2=90°\Rightarrow O_{2}C$ vuông góc với CD

Ví dụ 2. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn. AC và BD cắt nhau tại P, AD và BC cắt nhau tại Q thỏa mãn PQ vuông góc với AC. E là trung điểm AB. Chứng minh rằng PE vuông góc với BC.

Xem thêm