Sách bài tập Toán 11 Bài tập cuối chương 3 (Cánh diều)

Giải SBT Toán 11 Bài tập cuối chương 3

Bài 32 trang 82 SBT Toán 11 Tập 1: Cho limu_n = 2, limv_n = 3. Khi đó, lim(u_n + v_n) bằng:

A. 6.

B. 5.

C. 1

D. 2.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có lim(u_n + v_n) = limu_n + limv_n = 2 + 3 = 5.

Bài 33 trang 82 SBT Toán 11 Tập 1: Cho limu_n = 3, lim v_n = +∞. Khi đó $\lim \frac{v_n}{u_n}$  bằng:

A. 3.

B. –∞.

C. +∞.

D. 0.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Vì limu_n = 3 > 0, lim v_n = +∞ nên $\lim \frac{v_n}{u_n}=+\infty$ .

Bài 34 trang 82 SBT Toán 11 Tập 1: Cho hai dãy số (u_n), (v_n) với $u_n=1-\frac{2}{n}$ , $v_n=4+\frac{2}{n+2}$ . Khi đó, $\lim \left(u_n+\sqrt{v_n}\right)$  bằng:

A. 3.

B. 4.

C. 5.

D. 2.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có $\lim u_n=\lim \left(1-\frac{2}{n}\right)=\lim 1-\lim \frac{2}{n}=1-0=1$;

Và $\lim v_n=\lim \left(4+\frac{2}{n+2}\right)=\lim 4+\lim \frac{2}{n+2}=4+0=4$ .

Suy ra $\lim \sqrt{v_n}=\sqrt{4}=2$ .

Khi đó $\lim \left(u_n+\sqrt{v_n}\right)$ $=\lim u_n+\lim \sqrt{v_n}=1+2=3$.

Bài 35 trang 82 SBT Toán 11 Tập 1: Biểu diễn dưới dạng phân số của 1,(7) là:

A. $\frac{7}{9}$ .

B. $\frac{10}{9}$ .

C. $\frac{10}{3}$ .

D. $\frac{16}{9}$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có: 1,(7) = 1 + 0,(7) = 1 + 0,7 + 0,07 + 0,007 + … + 0,00007 + …

Vì 0,7; 0,07; 0,007; … lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu u₁ = 0,7 và công bội q = 0,1 < 1 nên

0,7 + 0,07 + 0,007 + … + 0,00007 + … = $\frac{\mathrm{0,7}}{1-\mathrm{0,1}}=\frac{7}{9}$ .

Vậy 1,(7) = 1 + $\frac{7}{9}=\frac{16}{9}$ .

Bài 36 trang 82 SBT Toán 11 Tập 1: Cho $\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)=5$ . Khi đó, $\underset{x\to 2}{\lim }2f\left(x\right)$  bằng:

A. 5.

B. 2.

C. 10.

D. 7.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có $\underset{x\to 2}{\lim }2f\left(x\right)=\underset{x\to 2}{\lim }2.\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)=2.5=10$.

Bài 37 trang 82 SBT Toán 11 Tập 1: Giả sử $\underset{x\to 3^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\mathrm{4,}\underset{x\to 3^{-}}{\lim }f\left(x\right)=2$ . Khi đó $\underset{x\to 3}{\lim }f\left(x\right)$  bằng:

A. 4.

B. 2.

C. 6.

D. Không tồn tại.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có $\underset{x\to 3^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\mathrm{4,}\underset{x\to 3^{-}}{\lim }f\left(x\right)=2$ nên $\underset{x\to 3^{+}}{\lim }f\left(x\right)\ne \underset{x\to 3^{-}}{\lim }f\left(x\right)$ .

Suy ra không tồn tại $\underset{x\to 3}{\lim }f\left(x\right)$ .

Bài 38 trang 82 SBT Toán 11 Tập 1: Nếu $\underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)=+\infty$  thì   bằng:

A. +∞.

B. –∞.

C. a.

D. – a.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có: .

Mà $\underset{x\to a}{\lim }\left(-1\right)=-1<0$  và $\underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)=+\infty$ .

Do vậy, $\underset{x\to a}{\lim }\left(-1\right).\underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$ . Vậy  .

Bài 39 trang 82 SBT Toán 11 Tập 1: Quan sát đồ thị hàm số trong Hình 9 và cho biết:

a) $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$  bằng:

A. 2.

B. 1. 

C. +∞.

D. –∞.

b) $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)$  bằng:

A. 2.

B. 1.

C. +∞.

D. –∞.

c) Hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng:

A. (–∞; 1).

B. (–∞; +∞).

C. (1; +∞).

D. (–∞; 2).

Lời giải:

a) Đáp án đúng là: A

Quan sát đồ thị ta thấy khi x → +∞ thì f(x) → 2.

Vậy $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=2$.

b) Đáp án đúng là: D

Quan sát đồ thị ta thấy $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$.

c) Đáp án đúng là: C

Quan sát đồ thị ta thấy, hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (1; +∞).

Bài 40 trang 83 SBT Toán 11 Tập 1: Hàm số nào sau đây không liên tục trên tập xác định của nó?

A. y = x.

B. $y=\frac{1}{x}$ .

C. y = sin x.

D. 

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

– Các hàm số y = x, y = sin x liên tục trên ℝ.

– Hàm số $y=\frac{1}{x}$ liên tục trên các khoảng xác định của nó là (–∞; 0) và (0; +∞).

– Xét hàm số   có tập xác định D = ℝ.

Xét tại x = 0, ta có: $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\mathrm{1,}\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=0$ .

Suy ra không tồn tại $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)$ . Vậy hàm số này không liên tục tại x = 0.

Do vậy hàm số   không liên tục trên tập xác định của nó.

Bài 41 trang 83 SBT Toán 11 Tập 1: Hàm số y = tan x gián đoạn tại bao nhiêu điểm trên khoảng (0; 2π)?

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Hàm số y = tan x có tập xác định $D=ℝ\backslash \left(\frac{\pi }{2}+k\pi |k\in \mathbb{Z}\right)$ .

Trong khoảng (0; 2π), hàm số y = tan x không xác định tại các điểm $x=\frac{\pi }{2}$ , $x=\frac{3\pi }{2}$ .

Vì hàm số y = tan x liên tục trên từng khoảng xác định của nó nên trong khoảng (0; 2π), hàm số này không liên tục tại hai điểm $x=\frac{\pi }{2}$ , $x=\frac{3\pi }{2}$ .

Bài 42 trang 83 SBT Toán 11 Tập 1: Tính các giới hạn sau:

a) $\lim \frac{2n-4}{5}$ ;                                   b) $\lim \frac{1+\frac{1}{2n}}{2n}$ ;

c) $\lim \left(2+\frac{7}{4^n}\right)$ ;                                 d) $\lim \frac{-4n^2-3}{2n^2-n+5}$ ;

e) $\lim \frac{\sqrt{9n^2+2n+1}}{n-5}$ ;                        g) $\lim \frac{3^n+{4.9}^n}{{3.4}^n+9^n}$ .

Lời giải:

a) Vì lim(2n – 4) = +∞ và lim5 = 5 > 0 nên $\lim \frac{2n-4}{5}=+\infty$ .                              

b) $\lim \frac{1+\frac{1}{2n}}{2n}$ $=\lim \frac{n\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{2n^2}\right)}{2n}$ $=\lim \frac{\frac{1}{n}+\frac{1}{2n^2}}{2}=\frac{\lim \left(\frac{1}{n}+\frac{1}{2n^2}\right)}{\lim 2}=\frac{0}{2}=0$   .

c)

$=\lim 2+\lim 7.\lim {\left(\frac{1}{4}\right)}^n=2+7.0=2$.          

d) $\lim \frac{-4n^2-3}{2n^2-n+5}$ $=\lim \frac{n^2\left(-4-\frac{3}{n^2}\right)}{n^2\left(2-\frac{1}{n}+\frac{5}{n^2}\right)}$ $=\lim \frac{-4-\frac{3}{n^2}}{2-\frac{1}{n}+\frac{5}{n^2}}$ 

$=\frac{\lim \left(-4-\frac{3}{n^2}\right)}{\lim \left(2-\frac{1}{n}+\frac{5}{n^2}\right)}$ $=\frac{-4}{2}=-2$.

e) $\lim \frac{\sqrt{9n^2+2n+1}}{n-5}$ $=\lim \frac{\sqrt{n^2\left(9+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}\right)}}{n-5}$ $=\lim \frac{n\sqrt{9+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}}}{n\left(1-\frac{5}{n}\right)}$

$=\lim \frac{\sqrt{9+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}}}{1-\frac{5}{n}}=\frac{\lim \sqrt{9+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}}}{\lim \left(1-\frac{5}{n}\right)}=\frac{\sqrt{9}}{1}=3$.                        

Bài 43 trang 83 SBT Toán 11 Tập 1: Cho tam giác T₁ có diện tích bằng 1. Giả sử có tam giác T₂ đồng dạng với tam giác T₁, tam giác T₃ đồng dạng với tam giác T₂, …, tam giác T_n đồng dạng với tam giác T_{n – 1} với tỉ số đồng dạng $\frac{1}{k}\left(k>1\right)$ . Khi n tiến tới vô cùng, tính tổng diện tích của tất cả các tam giác theo k.

Lời giải:

Gọi diện tích các tam giác T₁; T₂; …; T_{­n – 1}; T_n lần lượt là S₁; S₂; …; S_{n – 1}; S_n.

Vì tam giác T_n đồng dạng với tam giác T_{n – 1} với tỉ số đồng dạng $\frac{1}{k}$  nên diện tích tam giác T_n bằng $\frac{1}{k^2}$  diện tích tam giác T_{n – 1} hay $S_n=\frac{1}{k^2}{S}_{n-1}$ .

Vì k > 1 nên $\frac{1}{k^2}<1$ . Vậy S₁; S₂; …; S_{n – 1}; S_n; … lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu S₁ = 1 và công bội $q=\frac{1}{k^2}$ .

Khi đó, tổng diện tích của tất cả các tam giác nếu n tiến tới vô cùng là:

S = S₁ + S₂ + … + S_{n – 1} + S_n + … = $\frac{1}{1-\frac{1}{k^2}}=\frac{k^2}{k^2-1}$ .

Bài 44 trang 83 SBT Toán 11 Tập 1: Tính các giới hạn sau:

a) $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2+\frac{4}{3x}}{x^2-1}$ ;                         b) $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{1}{x-2}$ ;                            c) $\underset{x\to -3^{+}}{\lim }\frac{-5+x}{x+3}$ ;

d) $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{14x+2}{-7x+1}$ ;                        e) $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-2x^2}{3x+5}$ ;                          g) $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\sqrt{4x^2+1}}{x+2}$ ;

h) $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x-1}{x^2-1}$ ;                            i) $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^2-5x+6}{x-2}$ ;                     k) $\underset{x\to 3}{\lim }\frac{-x^2+4x-3}{x^2+3x-18}$ .

Lời giải:

a) $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2+\frac{4}{3x}}{x^2-1}$ $=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\frac{2}{x^2}+\frac{4}{3x^3}}{1-\frac{1}{x^2}}$ $=\frac{\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\frac{2}{x^2}+\frac{4}{3x^3}\right)}{\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(1-\frac{1}{x^2}\right)}=\frac{0}{1}=0$  .

b) $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{1}{x-2}=+\infty$ .                            

c) Vì $\underset{x\to -3^{+}}{\lim }\left(-5+x\right)=-8<0$ ; $\underset{x\to -3^{+}}{\lim }\left(x+3\right)=0$  và x + 3 > 0 với mọi x > – 3.

Do đó, $\underset{x\to -3^{+}}{\lim }\frac{-5+x}{x+3}=-\infty$.

d) $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{14x+2}{-7x+1}$ $=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{14+\frac{2}{x}}{-7+\frac{1}{x}}=\frac{14}{-7}=-2$ .                         

e) $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-2x^2}{3x+5}$ $=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-2}{\frac{3}{x}+\frac{5}{x^2}}=-\infty$ .                        

g) 

$=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-\sqrt{4+\frac{1}{x^2}}}{1+\frac{2}{x}}=\frac{-\sqrt{4}}{1}=-2$.

h) $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x-1}{x^2-1}$ $=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x-1}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{1}{x+1}=\frac{1}{2}$ .             

i) $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^2-5x+6}{x-2}$ $=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\left(x-2\right)\left(x-3\right)}{x-2}=\underset{x\to 2}{\lim }\left(x-3\right)=-1$ .           

k) $\underset{x\to 3}{\lim }\frac{-x^2+4x-3}{x^2+3x-18}$$=\underset{x\to 3}{\lim }\frac{\left(x-1\right)\left(3-x\right)}{\left(x+6\right)\left(x-3\right)}$ $=\underset{x\to 3}{\lim }\frac{-\left(x-1\right)}{x+6}=\frac{-2}{9}$ .

Bài 45 trang 83 SBT Toán 11 Tập 1: Cho hàm số  . Tìm a để hàm số liên tục trên ℝ. ….

Lời giải:

Với x ≠ 2 thì $f\left(x\right)=\frac{x^2-4}{x-2}$  liên tục trên hai khoảng (–∞; 2) và (2; +∞). 

Ta có: f(2) = a; $\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^2-4}{x-2}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}{x-2}=\underset{x\to 2}{\lim }\left(x+2\right)=4$ .

Để hàm số liên tục trên ℝ thì hàm số phải liên tục tại x = 2.

Khi đó $f\left(2\right)=\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)$  hay a = 4.

Vậy hàm số liên tục trên ℝ khi a = 4.

Bài 46 trang 84 SBT Toán 11 Tập 1: Một bể chứa 5 000 l nước tinh khiết. Nước muối có chứa 30 gam muối trên mỗi lít nước được bơm vào bể với tốc độ 25 l/phút.

a) Chứng minh rằng nồng độ muối của nước trong bể sau t phút (tính bằng khối lượng muối chia thể tích nước trong bể, đơn vị: g/l) là $C\left(t\right)=\frac{30t}{200+t}$ .

b) Tính $\underset{t\to +\infty }{\lim }C\left(t\right)$  và cho biết ý nghĩa của kết quả đó.

Lời giải:

a) Sau t phút thì lượng muối trong bể là 30 . 25 . t = 750t (g) và thể tích nước trong bể là 5 000 + 25t (l).

Vậy nồng độ muối của nước trong bể sau t phút là:

 $C\left(t\right)=\frac{750t}{5000+25t}=\frac{30t}{200+t}$(g/l).

b) Ta có: $\underset{t\to +\infty }{\lim }C\left(t\right)=\underset{t\to +\infty }{\lim }\frac{30t}{200+t}=\underset{t\to +\infty }{\lim }\frac{30}{\frac{200}{t}+1}=\frac{30}{1}=30$ .

Theo kết quả đó, ta thấy khi lượng nước trong bể tăng theo thời gian đến vô hạn thì nồng độ muối của nước sẽ tăng dần đến giá trị 30 g/l, tức là xấp xỉ nồng độ muối của loại nước muối cho thêm vào bể.