Sách bài tập Toán 11 Bài 1 (Cánh diều): Giới hạn của dãy số

Giải SBT Toán 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số

Bài 1 trang 68 SBT Toán 11 Tập 1: Phát biểu nào sau đây là sai?

A. $\lim \frac{1}{2^n}=0$ .

B. $\lim {\left(\frac{3}{2}\right)}^n=0$ .

C. $\lim \frac{1}{{\left(\sqrt{2}\right)}^n}=0$ .

D. $\lim {\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^n=0$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Vì limqⁿ = 0 với |q| < 1 nên ta có:

$\lim \frac{1}{2^n}=\lim {\left(\frac{1}{2}\right)}^n=0$ do  ;

$\lim \frac{1}{{\left(\sqrt{2}\right)}^n}=\lim {\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}^n=0$ do  ;

$\lim {\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^n=0$ do  .

Vậy các đáp án A, C, D đúng.

Vì   nên $\lim {\left(\frac{3}{2}\right)}^n\ne 0$ , do đó đáp án B sai.

Bài 2 trang 68 SBT Toán 11 Tập 1: Cho limu_n = a, lim v_n = b. Phát biểu nào sau đây là sai?

A. lim(u_n + v_n) = a + b.

B. lim(u_n – v_n) = a – b. 

C. lim(u_n . v_n) = a . b.

D. $\lim \frac{u_n}{v_n}=\frac{a-b}{b}$.  

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Theo định lí về giới hạn hữu hạn thì ta thấy đáp án D sai.

Bài 3 trang 68 SBT Toán 11 Tập 1: Nếu limu_n = C và limv_n = +∞ (hoặc limv_n = −∞) thì $\lim \frac{u_n}{v_n}$  bằng:

A. 0.

B. –∞.

C. +∞.

D. –∞ hoặc +∞.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Nếu limu_n = C và limv_n = +∞ (hoặc limv_n = −∞) thì $\lim \frac{u_n}{v_n}=0$ .

Bài 4 trang 68 SBT Toán 11 Tập 1: Phát biểu nào sau đây là sai?

A. Nếu limu_n = +∞ và limv_n = C, C > 0 thì lim $\frac{u_n}{v_n}$ = +∞.

B. Nếu limu_n = −∞ và limv_­n = C, C < 0 thì lim $\frac{u_n}{v_n}$ = +∞.

C. Nếu limu_n = +∞ và limv_n = C, C < 0 thì lim $\frac{u_n}{v_n}$= 0.  

D. Nếu limu_n = –∞ và limv_n = C, C > 0 thì $\lim \frac{u_n}{v_n}=-\infty$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Theo định lí giữa giới hạn hữu hạn và giới hạn vô cực, nếu limu_n = +∞ và limv_n = C, C < 0 thì lim$\frac{u_n}{v_n}$ = –∞ nên đáp án C sai.  

Bài 5 trang 68 SBT Toán 11 Tập 1: Phát biểu nào sau đây là đúng? 

A. Nếu limu_n = a thì $\lim \sqrt{u_n}=\sqrt{a}$ .

B. Nếu limu_n = a thì a ≥ 0 và $\lim \sqrt{u_n}=\sqrt{a}$ .

C. Nếu limu_n = a thì a ≥ 0.

D. Nếu u_n ≥ 0 với mọi n và limu_n = a thì a ≥ 0 và $\lim \sqrt{u_n}=\sqrt{a}$ . 

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Theo định lí về giới hạn hữu hạn, nếu u_n ≥ 0 với mọi n và limu_n = a thì a ≥ 0 và $\lim \sqrt{u_n}=\sqrt{a}$ . 

Bài 6 trang 68 SBT Toán 11 Tập 1: Chứng minh rằng $\lim \frac{{\left(-1\right)}^n}{n^2}=0$ .

Lời giải:

Xét dãy số (u_n) có $u_n=\frac{{\left(-1\right)}^n}{n^2}$.

Giả sử h là số dương bé tùy ý cho trước. Ta có: 

Do đó, .

Vậy với các số tự nhiên n lớn hơn $\frac{1}{\sqrt{h}}$  thì |u­_n| < h.

Suy ra $\lim \frac{{\left(-1\right)}^n}{n^2}=0$ .

Bài 7 trang 68 SBT Toán 11 Tập 1: Cho hai dãy số (u_n), (v_n) với $u_n=3-\frac{4}{n+1}$ , $v_n=8-\frac{5}{3n^2+2}$ . Tính:

a) limu_n, limv_n;

b) lim(u_n + v_n), lim(u_n – v_n), lim(u_n . v_n), $\lim \frac{u_n}{v_n}$ .

Lời giải:

a) Ta có

$\lim u_n=\lim \left(3-\frac{4}{n+1}\right)=\lim 3-\lim \frac{4}{n+1}=3-0=3$;

$\lim v_n=\lim \left(8-\frac{5}{3n^2+2}\right)=\lim 8-\lim \frac{5}{3n^2+2}=8-0=8$.

b) Ta có

lim(u_n + v_n) = limu_n + limv_n = 3 + 8 = 11;

lim(u_n – v_n) = limu_n – limv_n = 3 – 8 = – 5;

lim(u_n . v_n) = limu_n . limv_n = 3 . 8 = 24;

$\lim \frac{u_n}{v_n}$$=\frac{\lim u_n}{\lim v_n}=\frac{3}{8}$.

Bài 8 trang 68 SBT Toán 11 Tập 1: Tính các giới hạn sau:

a) $\lim \frac{4n+2}{3}$ ;

b) $\lim \frac{3n+4}{-5+\frac{2}{n}}$ ;

c) $\lim \frac{-3+\frac{1}{n+1}}{5^n}$ ;

d) $\lim \left(6-\frac{5}{4^n}\right)$ .

Lời giải:

a) Vì lim(4n + 2) =  = lim (n . 4) = +∞ và lim3 = 3 > 0.

Do đó, $\lim \frac{4n+2}{3}=+\infty$.

b) Vì lim(3n + 4)   = lim (n . 3) = +∞

và $\lim \left(-5+\frac{2}{n}\right)=\lim \left(-5\right)+\lim \frac{2}{n}=-5$  < 0.

Do đó, $\lim \frac{3n+4}{-5+\frac{2}{n}}=-\infty$ .

c) Vì $\lim \left(-3+\frac{1}{n+1}\right)=\lim \left(-3\right)+\lim \frac{1}{n+1}=-3$  và lim5ⁿ = +∞.

Nên $\lim \frac{-3+\frac{1}{n+1}}{5^n}=0$ .

d) $\lim \left(6-\frac{5}{4^n}\right)$$=\lim 6-\lim \frac{5}{4^n}$$=6-\lim \left(5.\frac{1}{4^n}\right)$

$=6-5\lim {\left(\frac{1}{4}\right)}^n=6-5.0=6$.

Bài 9 trang 69 SBT Toán 11 Tập 1: Tính các giới hạn sau:

a) $\lim \frac{6n-5}{3n}$ ;

b) $\lim \frac{-2n^2-6n+2}{8n^2-5n+4}$ ;

c) $\lim \frac{n^3-5n+1}{3n^2-4n+2}$ ;

d) $\lim \frac{-4n+1}{9n^2-n+2}$ ;

e) $\lim \frac{\sqrt{4n^2+n+1}}{8n+3}$ ;

g) $\lim \frac{4^n+5^n}{{3.4}^n-{4.5}^n}$ .

Lời giải:

a) $\lim \frac{6n-5}{3n}=\lim \frac{n\left(6-\frac{5}{n}\right)}{3n}$$=\lim \frac{6-\frac{5}{n}}{3}=\frac{\lim \left(6-\frac{5}{n}\right)}{\lim 3}=\frac{6}{3}=2$ .

b) $\lim \frac{-2n^2-6n+2}{8n^2-5n+4}$ $=\lim \frac{n^2\left(-2-\frac{6}{n}+\frac{2}{n^2}\right)}{n^2\left(8-\frac{5}{n}+\frac{4}{n^2}\right)}$

$=\lim \frac{-2-\frac{6}{n}+\frac{2}{n^2}}{8-\frac{5}{n}+\frac{4}{n^2}}=\frac{\lim \left(-2-\frac{6}{n}+\frac{2}{n^2}\right)}{\lim \left(8-\frac{5}{n}+\frac{4}{n^2}\right)}=\frac{-2}{8}=-\frac{1}{4}$.

c) $\lim \frac{n^3-5n+1}{3n^2-4n+2}$$=\lim \frac{n^3\left(1-\frac{5}{n^2}+\frac{1}{n^3}\right)}{n^3\left(\frac{3}{n}-\frac{4}{n^2}+\frac{2}{n^3}\right)}$$=\lim \frac{1-\frac{5}{n^2}+\frac{1}{n^3}}{\frac{3}{n}-\frac{4}{n^2}+\frac{2}{n^3}}$

$=\frac{\lim \left(1-\frac{5}{n^2}+\frac{1}{n^3}\right)}{\lim \left(\frac{3}{n}-\frac{4}{n^2}+\frac{2}{n^3}\right)}=+\infty$ (do $\lim \left(1-\frac{5}{n^2}+\frac{1}{n^3}\right)=1$  và $\lim \left(\frac{3}{n}-\frac{4}{n^2}+\frac{2}{n^3}\right)=0$  ).

d) $\lim \frac{-4n+1}{9n^2-n+2}$$=\lim \frac{n^2\left(\frac{-4}{n}+\frac{1}{n^2}\right)}{n^2\left(9-\frac{1}{n}+\frac{2}{n^2}\right)}$ $=\lim \frac{\frac{-4}{n}+\frac{1}{n^2}}{9-\frac{1}{n}+\frac{2}{n^2}}$

$=\frac{\lim \left(\frac{-4}{n}+\frac{1}{n^2}\right)}{\lim \left(9-\frac{1}{n}+\frac{2}{n^2}\right)}=\frac{0}{9}=0$ .

e) $\lim \frac{\sqrt{4n^2+n+1}}{8n+3}$ $=\lim \frac{\sqrt{n^2\left(4+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}\right)}}{n\left(8+\frac{3}{n}\right)}$ $=\lim \frac{\sqrt{4+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}}{8+\frac{3}{n}}$

$=\frac{\lim \left(\sqrt{4+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}\right)}{\lim \left(8+\frac{3}{n}\right)}=\frac{\sqrt{\lim \left(4+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}\right)}}{\lim \left(8+\frac{3}{n}\right)}=\frac{\sqrt{4}}{8}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$.

g) $\lim \frac{4^n+5^n}{{3.4}^n-{4.5}^n}$$=\lim \frac{5^n\left(\frac{4^n}{5^n}+1\right)}{5^n\left(\frac{{3.4}^n}{5^n}-4\right)}$$=\lim \frac{{\left(\frac{4}{5}\right)}^n+1}{3.{\left(\frac{4}{5}\right)}^n-4}$

Bài 10 trang 69 SBT Toán 11 Tập 1: a) Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (u­_n) với $u_1=\frac{5}{4},q=-\frac{1}{3}$ .

b) Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 2,(3) dưới dạng phân số.

Lời giải:

a) Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (u­_n) với $u_1=\frac{5}{4},q=-\frac{1}{3}$  là:

$S=\frac{u_1}{1-q}=\frac{\frac{5}{4}}{1-\left(-\frac{1}{3}\right)}=\frac{15}{16}$.

b) Ta có 2,(3) = 2 + 0,(3) = 2 + 0,3 + 0,03 + 0,003 + … + 0,0000003 + …

Dãy số 0,3; 0,03; 0,003; …lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu u₁ = 0,3 và công bội $q=\frac{1}{10}$  < 1. Do đó:

0,3 + 0,03 + 0,003 + … + 0,0000003 + … $=\frac{\mathrm{0,3}}{1-\frac{1}{10}}=\frac{1}{3}$ .

Vậy 2,(3) = 2 + $\frac{1}{3}=\frac{7}{3}$ .

Bài 11 trang 69 SBT Toán 11 Tập 1: Từ độ cao 100 m, người ta thả một quả bóng cao su xuống đất. Giả sử cứ sau mỗi lần chạm đất, quả bóng nảy lên một độ cao bằng $\frac{1}{4}$  độ cao mà quả bóng đạt được trước đó. Gọi h­_n là độ cao quả bóng đạt được ở lần nảy thứ n.

a) Tìm số hạng tổng quát của dãy số (h_n).

b) Tính giới hạn của dãy số (h_n) và nêu ý nghĩa giới hạn của dãy số (h_n).

c) Gọi S_n là tổng độ dài quãng đường đi được của quả bóng từ lúc bắt đầu thả quả bóng đến khi quả bóng chạm đất lần thứ n. Tính S_n, nếu quá trình này cứ tiếp tục diễn ra mãi thì tổng quãng đường quả bóng di chuyển được là bao nhiêu?

Lời giải:

a) Theo đề bài ta có, $h_n=\frac{1}{4}{h}_{n-1}$  nên (h_n) là một cấp số nhân với h₁ = $\frac{1}{4}.100=25$  và công bội $q=\frac{1}{4}$ .

Suy ra số hạng tổng quát của dãy số (h_n): $h_n=u_1{q}^{n-1}=25.{\left(\frac{1}{4}\right)}^{n-1}=\frac{100}{4^n}$ .

b) Ta có: limh_n = $\lim \frac{100}{4^n}=\lim \left(100.\frac{1}{4^n}\right)=\lim 100.\lim {\left(\frac{1}{4}\right)}^n=100.0=0$ .

Từ giới hạn đó, ta rút ra được ý nghĩa: Khi n càng dần tới vô cực thì độ cao của quả bóng đạt được sau khi nảy ngày càng nhỏ và độ cao đó dần tới 0.

c) Ta có: $S_n=100+2\left(\frac{100}{4}+\frac{100}{4^2}+\frac{100}{4^3}+\mathrm{\dots }+\frac{100}{4^n}\right)$ .

Nếu quá trình bóng nảy cứ tiếp tục diễn ra mãi, tổng quãng đường quả bóng di chuyển được là: $\lim S_n=100+2\left(\frac{100}{4}+\frac{100}{4^2}+\frac{100}{4^3}+\mathrm{\dots }+\frac{100}{4^n}+\mathrm{\dots }\right)$ .

Vì $\frac{100}{4};\frac{100}{4^2};\frac{100}{4^3};\mathrm{\dots };\frac{100}{4^n};\mathrm{\dots }$  lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn với $u_1=\frac{100}{4}$  và công bội $q=\frac{1}{4}<1$  nên ta có $\lim S_n=100+2.\frac{\frac{100}{4}}{1-\frac{1}{4}}=\frac{500}{3}$ .

Vậy tổng quãng đường quả bóng di chuyển được là $\frac{500}{3}$  m.