Sách bài tập Toán 11 Bài 1 (Cánh diều): Dãy số

Giải SBT Toán 11 Bài 1: Dãy số

Bài 1 trang 45 SBT Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) biết u₁ = 2 và $u_{n} = \frac{u_{n - 1} + 1}{2}$ với mọi n ≥ 2. Ba số hạng đầu tiên của dãy số lần lượt là:

A. 2; 1; $\frac{3}{2}$ .

B. 2; $\frac{3}{2}; \frac{5}{2}$ .

C. 2; $\frac{3}{2}; \frac{5}{4}$ .

D. 2; $\frac{3}{2}$ ; 2.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có: u₁ = 2; $u_{2} = \frac{u_{1} + 1}{2} = \frac{2 + 1}{2} = \frac{3}{2}$ ; $u_{3} = \frac{u_{2} + 1}{2} = \frac{\frac{3}{2} + 1}{2} = \frac{5}{4}$ .

Bài 2 trang 45 SBT Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) biết $u_{n} = \frac{2 n^{2} - 1}{n^{2} + 2}$ . Số hạng u₁₀ là:

A. $\frac{19}{12}$ .

B. $\frac{33}{34}$ .

C. $\frac{199}{102}$ .

D. $\frac{3}{4}$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có $u_{10} = \frac{{2.10}^{2} - 1}{10^{2} + 2} = \frac{199}{102}$ .

Bài 3 trang 45 SBT Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) biết $u_{n} = \frac{n + 1}{3 n - 2}$ . Với $u_{k} = \frac{8}{19}$ là số hạng của dãy số thì k bằng:

A. 8.

B. 7.

C. 9.

D. 6.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Giả sử $u_{k} = \frac{8}{19}$ là một số hạng của dãy số (u_n).

Khi đó k ∈ ℕ^* và $u_{k} = \frac{k + 1}{3 k - 2} = \frac{8}{19}$ , suy ra 19(k + 1) = 8(3k – 2)

⇔ 19k + 19 = 24k – 16

⇔ 24k – 19k = 19 + 16

⇔ 5k = 35

⇔ k = 7 (t/m).

Vậy k = 7.

Bài 4 trang 45 SBT Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) biết u_n = 3ⁿ. Số hạng u_{n + 1} bằng:

A. 3ⁿ . 3.

B. 3ⁿ + 3.

C. 3ⁿ + 1.

D. 3(n + 1).

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có u_{n + 1} = 3^{n + 1} = 3ⁿ . 3¹ = 3ⁿ . 3.

Bài 5 trang 45 SBT Toán 11 Tập 1: Trong các dãy số (u_n) được xác định như sau, dãy số giảm là:

A. $u_{n} = \frac{3 n - 1}{n + 1}$ .

B. u_n = n³.

C. $u_{n} = \frac{1}{3^{n + 1}}$ .

D. $u_{n} = \sqrt{n}$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Xét đáp án C, ta có:

$u_{n + 1} - u_{n} = \frac{1}{3^{n + 1 + 1}} - \frac{1}{3^{n + 1}} = \frac{1}{3^{n + 2}} - \frac{1}{3^{n + 1}}$

$= \frac{3^{n + 1} - 3^{n + 2}}{3^{n + 1} {.3}^{n + 2}} = \frac{{3.3}^{n} - {9.3}^{n}}{3^{n + 1} {.3}^{n + 2}} = \frac{- {6.3}^{n}}{3^{n + 1} {.3}^{n + 2}} < 0$ với mọi n ∈ ℕ^*.

Suy ra u_{n + 1} – u_n < 0, tức là u_{n + 1} < u_n.

Vậy dãy số (u_n) với $u_{n} = \frac{1}{3^{n + 1}}$ là dãy số giảm.

Bài 6 trang 45 SBT Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) biết u_n = cos n. Dãy số (u_n) là:

A. Dãy số tăng.

B. Dãy số giảm.

C. Dãy số bị chặn.

D. Dãy số bị chặn dưới, không bị chặn trên.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có – 1 ≤ cos n ≤ 1 với mọi n ∈ ℕ^*.

Do đó, – 1 ≤ u_n ≤ 1 với mọi n ∈ ℕ^*.

Khi đó dãy số (u_n) bị chặn trên bởi 1 và bị chặn dưới bởi – 1.

Vậy dãy số (u_n) là dãy số bị chặn.

Bài 7 trang 46 SBT Toán 11 Tập 1: Tính tổng 6 số hạng đầu của dãy số (u_n), biết u_n = 3n – 1.

Lời giải:

Ta có u₁ = 3 . 1 – 1 = 2; u₂ = 3 . 2 – 1 = 5;

u₃ = 3 . 3 – 1 = 8; u₄ = 3. 4 – 1 = 11;

u₅ = 3 . 5 – 1 = 14; u₆ = 3 . 6 – 1 = 17.

Do đó, u₁ + u₂ + u₃+ u₄ + u₅ + u₆ = 2 + 5 + 8 + 11 + 14 + 17 = 57.

Vậy tổng 6 số hạng đầu của dãy số (u_n) là 57.

Bài 8 trang 46 SBT Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) biết u₁ = 2 và $u_{n} = \sqrt{2 + u_{n - 1}^{2}}$ với mọi n ≥ 2. Viết năm số hạng đầu của dãy số và dự đoán công thức của số hạng tổng quát u_n.

Lời giải:

Năm số hạng đầu của dãy số (u_n) là: u₁ = 2;

$u_{2} = \sqrt{2 + u_{1}^{2}} = \sqrt{2 + 2^{2}} = \sqrt{6}$ ;

$u_{3} = \sqrt{2 + u_{2}^{2}} = \sqrt{2 + {(\sqrt{6})}^{2}} = \sqrt{8} = 2 \sqrt{2}$ ;

$u_{4} = \sqrt{2 + u_{3}^{2}} = \sqrt{2 + {(2 \sqrt{2})}^{2}} = \sqrt{10}$ ;

$u_{5} = \sqrt{2 + u_{4}^{2}} = \sqrt{2 + {(\sqrt{10})}^{2}} = \sqrt{12} = 2 \sqrt{3}$ .

Ta thấy $2 = \sqrt{2. (1 + 1)}$ ; $\sqrt{6} = \sqrt{2. (2 + 1)}$ ; $\sqrt{8} = \sqrt{2. (3 + 1)}$ ;

$\sqrt{10} = \sqrt{2. (4 + 1)}$ ; $\sqrt{12} = \sqrt{2. (5 + 1)}$ .

Khi đó dự đoán công thức số hạng tổng quát của dãy số (u_n) là $u_{n} = \sqrt{2 (n + 1)}$ .

Bài 9 trang 46 SBT Toán 11 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hàm số $y = \frac{2 x - 1}{2 x^{2} + 1}$ có đồ thị (C). Với mỗi số nguyên dương n, gọi A_n là giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng x = n. Xét dãy số (u_n), biết u_n là tung độ của điểm A_n. Hãy tìm công thức của số hạng tổng quát u_n.

Lời giải:

Với x = n, ta có $y_{n} = \frac{2 n - 1}{2 n^{2} + 1}$ , suy ra $A_{n} (n; \frac{2 n - 1}{2 n^{2} + 1})$ .

Vì dãy số (u_n) có u_n là tung độ của điểm A_n, do đó $u_{n} = \frac{2 n - 1}{2 n^{2} + 1}$ .

Vẫy công thức của số hạng tổng quát là $u_{n} = \frac{2 n - 1}{2 n^{2} + 1}$ .

Bài 10 trang 46 SBT Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n), biết Cho dãy số (un), biết un = sin [(2n-1) π/4]

a) Viết bốn số hạng đầu của dãy số.

b) Chứng minh rằng u_{n + 4} = u_n với mọi n ≥ 1.

c) Tính tổng 12 số hạng đầu của dãy số.

Lời giải:

a) Bốn số hạng đầu của dãy số (u_n) là:

Cho dãy số (un), biết un = sin [(2n-1) π/4]

Vậy u_{n + 4} = u_n với mọi n ≥ 1.

c) Theo câu b) ta có u_{n + 4} = u_n với mọi n ≥ 1.

Do đó, u₁ = u₅= u₉, u₂ = u₆ = u₁₀, u₃ = u₇ = u₁₁, u₄ = u₈ = u₁₂.

Tổng 12 số hạng đầu của dãy số là:

u₁ + u₂ + u₃ + u₄ + … + u₁₂ = 3(u₁ + u₂ + u₃ + u₄)

= $3 (\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{- \sqrt{2}}{2} + \frac{- \sqrt{2}}{2}) = 0$ .

Bài 11 trang 46 SBT Toán 11 Tập 1: Xét tính tăng, giảm của mỗi dãy số (u_n), biết:

a) u_n = 2n + 3;

b) u_n = 3ⁿ – n;

c) $u_{n} = \frac{\sqrt{n}}{2^{n}}$ ;

d) u_n = sin n.

Lời giải:

a) Ta có u_{n + 1} = 2(n + 1) + 3 = 2n + 5.

Xét u_{n + 1} – u_n = (2n + 5) – (2n + 3) = 2 > 0 với mọi n ∈ ℕ^*.

Do đó, u_{n + 1} > u_n với mọi n ∈ ℕ^*.

Vậy dãy số (u_n) với u_n = 2n + 3 là dãy số tăng.

b) Ta có u_{n + 1} = 3^{n + 1} – (n + 1) = 3 . 3ⁿ – n – 1.

Xét u_{n + 1} – u_n = (3 . 3ⁿ – n – 1) – (3ⁿ – n) = 3 . 3ⁿ – 3ⁿ – 1 = 2 . 3ⁿ – 1 > 0 với mọi n ∈ ℕ^*.

Do đó, u_{n + 1} > u_n với mọi n ∈ ℕ^*.

Vậy dãy số (u_n) với u_n = 3ⁿ – n là dãy số tăng.

c) Ta có u_{n + 1} = $\frac{\sqrt{n + 1}}{2^{n + 1}}$ = $\frac{\sqrt{n + 1}}{{2.2}^{n}}$ .

Xét $u_{n + 1} - u_{n} = \frac{\sqrt{n + 1}}{{2.2}^{n}} - \frac{\sqrt{n}}{2^{n}} = \frac{\sqrt{n + 1} - 2 \sqrt{n}}{{2.2}^{n}}$ $= \frac{\sqrt{n + 1} - \sqrt{4 n}}{{2.2}^{n}}$

$= \frac{n + 1 - 4 n}{{2.2}^{n} (\sqrt{n + 1} + \sqrt{4 n})} = \frac{- 3 n + 1}{{2.2}^{n} (\sqrt{n + 1} + \sqrt{4 n})} < 0$ với mọi n ∈ ℕ^*.

(do – 3n + 1 < 0, 2ⁿ > 0 và với mọi n ∈ ℕ^*).

Do vậy, u_{n + 1} < u_n với mọi n ∈ ℕ^*.

Vậy dãy số (u_n) với $u_{n} = \frac{\sqrt{n}}{2^{n}}$ là dãy số giảm.

Bài 12 trang 46 SBT Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) biết $u_{n} = \frac{a n + 2}{n + 1}$ với a là số thực. Tìm a để dãy số (u_n) là dãy số tăng.

Lời giải:

Ta có $u_{n + 1} = \frac{a (n + 1) + 2}{n + 1 + 1} = \frac{a n + a + 2}{n + 2}$ .

Xét $u_{n + 1} - u_{n} = \frac{a n + a + 2}{n + 2} - \frac{a n + 2}{n + 1} = \frac{(a n + a + 2) (n + 1) - (a n + 2) (n + 2)}{(n + 2) (n + 1)}$

$= \frac{a n^{2} + a n + a n + a + 2 n + 2 - a n^{2} - 2 a n - 2 n - 4}{(n + 2) (n + 1)}$ $= \frac{a - 2}{(n + 2) (n + 1)}$ .

Để dãy số (u_n) là dãy số tăng thì u_{n + 1} > u_n với mọi n ∈ ℕ^* hay u_{n + 1} – u_n> 0 với mọi n ∈ ℕ^*, tức là $\frac{a - 2}{(n + 2) (n + 1)} > 0$ với mọi n ∈ ℕ^*.

Mà n + 2 > 0, n + 1 > 0 với mọi n ∈ ℕ^*.

Nên $\frac{a - 2}{(n + 2) (n + 1)} > 0$ ⇔ a – 2 > 0 ⇔ a > 2.

Vậy (u_n) là dãy số tăng khi a > 2.

Bài 13 trang 46 SBT Toán 11 Tập 1: Chứng minh rằng:

a) Dãy số (u_n) với $u_{n} = \sqrt{n^{2} + 1}$ bị chặn dưới;

b) Dãy số (u_n) với u_n = – n²– n bị chặn trên;

c) Dãy số (u_n) với $u_{n} = \frac{2 n + 1}{n + 2}$ bị chặn.

Lời giải:

a) Ta có n² ≥ 1 với mọi n ∈ ℕ^*.

Do đó, $\sqrt{n^{2} + 1} \geq \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$ với mọi n ∈ ℕ^*.

Vậy dãy số (u_n) với $u_{n} = \sqrt{n^{2} + 1}$ bị chặn dưới.

b) Ta có – n² – n ≤ – 2 với mọi n ∈ ℕ^*.

Do đó, dãy số (u_n) với u_n = – n²– n bị chặn trên.

c) Ta có $\frac{2 n + 1}{n + 2} > 0$ với mọi n ∈ ℕ^*. Do đó, dãy số (u_n) với $u_{n} = \frac{2 n + 1}{n + 2}$ bị chặn dưới. (1)

Lại có $\frac{2 n + 1}{n + 2} = \frac{2 (n + 2) - 3}{n + 2} = 2 - \frac{3}{n + 2} < 2$ với mọi n ∈ ℕ^*.

Do đó, dãy số (u_n) với $u_{n} = \frac{2 n + 1}{n + 2}$ bị chặn trên. (2)

Từ (1) và (2), suy ra dãy số (u_n) với $u_{n} = \frac{2 n + 1}{n + 2}$ bị chặn.

Bài 14 trang 46 SBT Toán 11 Tập 1: Với mỗi số nguyên dương n, lấy n + 6 điểm cách đều nhau trên đường tròn. Nối mỗi điểm với điểm cách nó hai điểm trên đường tròn đó để tạo thành các ngôi sao như Hình 1. Gọi u_n là số đo góc ở đỉnh tính theo đơn vị độ của mỗi ngôi sao thì ta được dãy số (u_n). Tìm công thức của số hạng tổng quát u_n.

Với mỗi số nguyên dương n, lấy n + 6 điểm cách đều nhau trên đường tròn

Lời giải:

Ta thấy đường tròn được chia thành n + 6 cung bằng nhau và mỗi cung có số đo bằng $(\frac{360}{n + 6}) \begin{matrix} ° \end{matrix}$ . Do mỗi điểm được nối với điểm cách nó hai điểm trên đường tròn nên góc ở đỉnh của mỗi ngôi sao là góc nội tiếp chắn n + 6 – 2 . 3 = n cung bằng nhau đó. Suy ra số đo góc ở đỉnh tính theo đơn vị độ của mỗi ngôi sao là $u_{n} = \frac{1}{2} . \frac{360}{n + 6} . n = \frac{180 n}{n + 6}$ .

Bài liên quan:

Leave a Comment Hủy