Sách bài tập Toán 11 Bài 3 (Cánh diều): Đạo hàm cấp hai

Giải SBT Toán 11 Bài 3: Đạo hàm cấp hai

Bài 29 trang 77 SBT Toán 11 Tập 2: Gia tốc tức thời của chuyển động s = f(t) tại thời điểm t₀ là:

A. f(t₀).

B. f’’(t₀).

C. f’(t₀).

D. –f’(t₀).

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Gia tốc tức thời của chuyển động s = f(t) tại thời điểm t₀ là đạo hàm cấp hai của f(s = f(t) và bằng f’’(t₀).

Bài 30 trang 77 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hàm số f(x) = e^–x. Khi đó f’’(x) bằng:

A. e^–x.

B. – e^–x.

C. – e^x.

D. e^x.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Xét hàm số f(x) = e^–x. Ta có:

f’(x) = (e^–x) = – e^–x.

f’’(x) = (– e^–x)’ = e^–x.

Vậy ta chọn phương án A.

Bài 31 trang 77 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hàm số f(x) = ln(3x). Khi đó f’’(x) bằng:

A. $-\frac{1}{9x^2}.$

B. $-\frac{1}{x^2}.$

C. $\frac{3}{x^2}.$

D. $-\frac{3}{x^2}.$

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Xét hàm số f(x) = ln(3x). Ta có:

$f^{‘}\left(x\right)={\left[\ln \left(3x\right)\right]}^{‘}=\frac{{\left(3x\right)}^{‘}}{3x}=\frac{3}{3x}=\frac{1}{x}.$

${f^{‘}}^{‘}\left(x\right)={\left(\frac{1}{x}\right)}^{‘}=-\frac{1}{x^2}.$

Vậy ta chọn phương án B.

Bài 32 trang 78 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hàm số $f\left(x\right)=\frac{1}{x}.$ Khi đó f’’(1) bằng:

A. 1.

B. –2.

C. 2.

D. –1.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Xét hàm số $f\left(x\right)=\frac{1}{x}.$ Ta có:

$f^{‘}\left(x\right)={\left(\frac{1}{x}\right)}^{‘}=-\frac{1}{x^2};$

${f^{‘}}^{‘}\left(x\right)={\left(-\frac{1}{x^2}\right)}^{‘}={\left(\frac{1}{-x^2}\right)}^{‘}-\frac{{\left(-x^2\right)}^{‘}}{{\left(-x^2\right)}^2}=-\frac{-2x}{x^4}=\frac{2}{x^3}.$

Do đó ${f^{‘}}^{‘}\left(1\right)=\frac{2}{1^3}=2.$

Bài 33 trang 78 SBT Toán 11 Tập 2: Tìm đạo hàm cấp hai của mỗi hàm số sau:

a) $f\left(x\right)=\frac{1}{3x+5};$

b) $g\left(x\right)=2^{x+3x^2}.$

Lời giải:

a) Xét hàm số $f\left(x\right)=\frac{1}{3x+5}.$ Ta có:

$f^{‘}\left(x\right)=-\frac{{\left(3x+5\right)}^{‘}}{{\left(3x+5\right)}^2}=\frac{-3}{{\left(3x+5\right)}^2};$

$f^{”}\left(x\right)=\left(-3\right)\cdot \frac{-{\left[{\left(3x+5\right)}^2\right]}^{‘}}{{\left[{\left(3x+5\right)}^2\right]}^2}=\frac{3\cdot 2\left(3x+5\right)\cdot 3}{{\left(3x+5\right)}^4}=\frac{18}{{\left(3x+5\right)}^3}.$

b) Xét hàm số $g\left(x\right)=2^{x+3x^2}.$ Ta có:

$g^{‘}\left(x\right)={\left(x+3x^2\right)}^{‘}\text{ln}2\cdot 2^{x+3x^2}=\left(6x+1\right)\text{ln}2\cdot 2^{x+3x^2}.$

${g^{‘}}^{‘}\left(x\right)=\text{ln}2\left[{\left(6x+1\right)}^{‘}\cdot 2^{x+3x^2}+\left(6x+1\right)\cdot {\left(2^{x+3x^2}\right)}^{‘}\right]$

$=\text{ln}2\left[6\cdot 2^{x+3x^2}+\left(6x+1\right)\cdot \left(6x+1\right)\text{ln}2\cdot 2^{x+3x^2}\right]$

$=6\text{ln}2\cdot 2^{x+3x^2}+{\left[\left(6x+1\right)\text{ln}2\right]}^2\cdot 2^{x+3x^2}.$

Bài 34 trang 78 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hàm số f(x) = sinx . cosx . cos2x.

a) Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số.

b) Tính đạo hàm cấp hai của hàm số tại $x_0=\frac{\pi }{6}.$

Lời giải:

a) Ta có: $f\left(x\right)=\text{sin}x\cdot \text{cos}x\cdot \text{cos}2x=\frac{1}{2}\text{sin}2x\cdot \text{cos}2x=\frac{1}{4}\text{sin}4x$.

Khi đó, $f^{‘}\left(x\right)=\frac{1}{4}\cdot {\left(4x\right)}^{‘}\cdot \text{cos}4x=\text{cos}4x.$

f’’(x) = (4x)’.(–sin4x) = –4sin4x.

b) Vì f’’(x) = –4sin4x nên ta có:

$f^{”}\left(\frac{\pi }{6}\right)=-4\text{sin}\left(4\cdot \frac{\pi }{6}\right)=-4\text{sin}\left(\frac{2\pi }{3}\right)=-4\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=-2\sqrt{3}.$

Bài 35 trang 78 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hàm số f(x) = x³ + 4x² + 5. Giải bất phương trình f’(x) – f’’(x) ≥ 0.

Lời giải:

Xét hàm số f(x) = x³ + 4x² + 5. Ta có:

f’(x) = (x³ + 4x² + 5)’ = 3x² + 8x;

f’’(x) = (3x² + 8x)’ = 6x + 8.

Khi đó, f’(x) – f’’(x) = 3x² + 8x – 6x – 8 = 3x² + 2x – 8.

Để f’(x) – f’’(x) ≥ 0 thì 3x² + 2x – 8 ≥ 0

$\iff \left(3x-4\right)\left(x+2\right)\ge 0\iff \left[\begin{array}{l}x\ge \frac{4}{3}\\ x\le -2\end{array}\right..$

Vậy bất phương trình có tập nghiệm $S=\left(-\infty ;-2\right]\cup \left[\frac{4}{3};+\infty \right).$

Bài 36 trang 78 SBT Toán 11 Tập 2: Một chất điểm chuyển động theo phương trình $s\left(t\right)=\frac{1}{3}{t}^3-3t^2+8t+2,$ trong đó t > 0, t tính bằng giây, s(t) tính bằng mét. Tính gia tốc tức thời của chất điểm:

a) Tại thời điểm t = 5 (s).

b) Tại thời điểm mà vận tốc tức thời của chất điểm bằng –1 m/s.

Lời giải:

Ta có: $s^{‘}\left(t\right)={\left(\frac{1}{3}{t}^3-3t^2+8t+2\right)}^{‘}=t^2-6t+8;$

s’’(t) = (t² – 6t + 8)’ = 2t – 6.

Vậy gia tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t (s) là s’’(t) = (t² – 6t + 8)’ = 2t – 6.

a) Gia tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t = 5 (s) là:

s’’(5) = 2.5 – 6 = 4 (m/s²).

b) Tại thời điểm mà vận tốc tức thời của chất điểm bằng –1 m/s là:

s’(t) = t² – 6t + 8 = –1

⇔ t² – 6t + 9 = 0

⇔ (t – 3)² = 0

⇔ t – 3 = 0

⇔ t = 3 (s).

Gia tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t = 3 (s) là:

s’’(3) = 2.3 – 6 = 0 (m/s²).

Bài 37 trang 78 SBT Toán 11 Tập 2: Một chất điểm có phương trình chuyển động $s\left(t\right)=3\sin \left(t+\frac{\pi }{3}\right),$ trong đó t > 0, t tính bằng giây, s(t) tính bằng centimet. Tính gia tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm $t=\frac{\pi }{2}\left(s\right).$

Lời giải:

Ta có:

$s^{‘}\left(t\right)=3\cos \left(t+\frac{\pi }{3}\right);$

$s^{”}\left(t\right)=-3\text{sin}\left(t+\frac{\pi }{3}\right).$

Do đó gia tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t (s) là

$s^{”}\left(t\right)=-3\text{sin}\left(t+\frac{\pi }{3}\right)$ (cm/s²).

Gia tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm $t=\frac{\pi }{2}\left(s\right)$ là:

$s^{”}\left(\frac{\pi }{2}\right)=-3\text{sin}\left(\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{3}\right)=-3\sin \frac{5\pi }{6}=\frac{-3}{2}$ (cm/s²).

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 2: Các quy tắc tính đạo hàm

Bài 3: Đạo hàm cấp hai

Bài tập cuối chương 7

Bài 1: Hai đường thẳng vuông góc

Bài 2: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Bài 3: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện